En el artículo presentado a su atención, ofrecemos ejemplos de modelos matemáticos. Además, prestaremos atención a las etapas de creación de modelos y analizaremos algunas de las tareas asociadas con el modelado matemático.
Una de nuestras preguntas más es sobre modelos matemáticos en la economía, ejemplos, cuya definición consideraremos un poco más adelante. Proponemos iniciar nuestra conversación con el concepto mismo de “modelo”, considerar brevemente su clasificación y pasar a nuestras preguntas principales.
El concepto de "modelo"
A menudo escuchamos la palabra "modelo". ¿Qué es? Este término tiene muchas definiciones, aquí hay solo tres de ellas:
- un objeto específico que se crea para recibir y almacenar información, reflejando algunas propiedades o características, etc., del original de este objeto (este objeto específico se puede expresar de diferentes formas: mental, descripción mediante signos, y así sucesivamente);
- modelo también significa la visualización de cualquier situación específica, vida ogerencial;
- modelo puede servir como una copia reducida de cualquier objeto (se crean para un estudio y análisis más detallado, ya que el modelo refleja la estructura y las relaciones).
Basándonos en todo lo dicho anteriormente, podemos sacar una pequeña conclusión: el modelo te permite estudiar un sistema u objeto complejo en detalle.
Todos los modelos se pueden clasificar según una serie de criterios:
- por área de uso (educativo, experimental, científico y técnico, juegos, simulación);
- por dinámica (estática y dinámica);
- por rama de conocimiento (física, química, geográfica, histórica, sociológica, económica, matemática);
- a modo de presentación (material e informativo).
Los modelos de información, a su vez, se dividen en signos y verbales. E icónico: en computadora y no computadora. Ahora pasemos a una consideración detallada de ejemplos de un modelo matemático.
Modelo matemático
Como puede suponer, un modelo matemático refleja algunas características de un objeto o fenómeno usando símbolos matemáticos especiales. Las matemáticas son necesarias para modelar los patrones del mundo circundante en su propio lenguaje específico.
El método de modelado matemático se originó hace bastante tiempo, hace miles de años, junto con el advenimiento de esta ciencia. Sin embargo, el impulso para el desarrollo de este método de modelado vino dado por la aparición de las computadoras (computadoras electrónicas).
Ahora pasemos a la clasificación. También se puede llevar a cabo de acuerdo con algunos signos. Ellos sonse presentan en la siguiente tabla.
| Clasificación por rama de la ciencia | Aplicación de modelos matemáticos en física, sociología, química, etc. |
| Según el aparato matemático utilizado en el proceso de modelado | Modelos basados en ecuaciones diferenciales, transformaciones algebraicas discretas y similares |
| Modelando metas | Según este principio, existen modelos descriptivos, de optimización, multicriterio, de juego y de simulación |
Proponemos detenernos y echar un vistazo más de cerca a la última clasificación, ya que refleja los patrones generales de modelado y los objetivos de los modelos que se crean.
Modelos descriptivos
En este capítulo, nos proponemos detenernos con más detalle en los modelos matemáticos descriptivos. Para que quede todo muy claro, se dará un ejemplo.
Para empezar, esta vista puede llamarse descriptiva. Esto se debe al hecho de que solo hacemos cálculos y pronósticos, pero no podemos influir en el resultado del evento de ninguna manera.
Un ejemplo sorprendente de un modelo matemático descriptivo es el cálculo de la trayectoria de vuelo, la velocidad y la distancia desde la Tierra de un cometa que invadió la inmensidad de nuestro sistema solar. Este modelo es descriptivo, ya que todos los resultados obtenidos solo pueden advertirnos de algún tipo de peligro. Influir en el resultado del evento, por desgracia, no lo hacemos. Pueden. Sin embargo, según los cálculos obtenidos, es posible tomar cualquier medida para salvar la vida en la Tierra.
Modelos de optimización
Ahora hablaremos un poco sobre modelos económicos y matemáticos, ejemplos de los cuales pueden ser diferentes situaciones. En este caso, estamos hablando de modelos que ayudan a encontrar la respuesta correcta en ciertas condiciones. Deben tener algunos parámetros. Para que quede muy claro, considere un ejemplo de la parte agrícola.
Tenemos un granero, pero el grano se echa a perder muy rápido. En este caso, debemos elegir el régimen de temperatura adecuado y optimizar el proceso de almacenamiento.
Así, podemos definir el concepto de "modelo de optimización". En un sentido matemático, este es un sistema de ecuaciones (tanto lineales como no), cuya solución ayuda a encontrar la solución óptima en una situación económica particular. Hemos considerado un ejemplo de modelo matemático (optimización), pero me gustaría agregar: este tipo pertenece a la clase de problemas extremos, ayudan a describir el funcionamiento del sistema económico.
Observe un matiz más: los modelos pueden ser de diferente naturaleza (consulte la tabla a continuación).
| determinista | En este caso, el resultado depende de los datos de entrada |
| estocástico | Descripción de procesos aleatorios. En este caso, el resultado permanece indefinido |
Modelos multicriterio
Ahora te invitamos a hablar un poco sobremodelo matemático de optimización multiobjetivo. Antes de eso, dimos un ejemplo de un modelo matemático para optimizar un proceso de acuerdo con cualquier criterio, pero ¿y si hay muchos de ellos?
Un ejemplo llamativo de una tarea multicriterio es la organización de una alimentación adecuada, sana y al mismo tiempo económica para grandes grupos de personas. Tales tareas se encuentran a menudo en el ejército, comedores escolares, campamentos de verano, hospitales, etc.
¿Qué criterios se nos dan en este problema?
- La comida debe ser saludable.
- El gasto en alimentos debe reducirse al mínimo.
Como puedes ver, estos objetivos no coinciden en absoluto. Esto quiere decir que a la hora de resolver un problema hay que buscar la solución óptima, un equilibrio entre dos criterios.
Modelos de juego
Hablando de modelos de juegos, es necesario entender el concepto de "teoría de juegos". En pocas palabras, estos modelos reflejan modelos matemáticos de conflictos reales. Solo tenga en cuenta que, a diferencia de un conflicto real, el modelo matemático del juego tiene sus propias reglas específicas.
Ahora habrá un mínimo de información de la teoría de juegos que te ayudará a entender qué es un modelo de juego. Y así, en el modelo hay necesariamente partes (dos o más), que normalmente se denominan jugadores.
Todos los modelos tienen algunas características.
| Asuntos | Número de jugadores |
| Estrategia | Opciones para posibles acciones |
| Pago | Resultado del conflicto (ganar o perder). |
El modelo de juego puede ser emparejado o múltiple. Si tenemos dos sujetos, entonces el conflicto está emparejado, si es más, múltiple. También se puede distinguir un juego antagónico, también llamado juego de suma cero. Este es un modelo en el que la ganancia de uno de los participantes es igual a la pérdida del otro.
Modelos de simulación
En esta sección, prestaremos atención a los modelos matemáticos de simulación. Ejemplos de tareas son:
- modelo de la dinámica del número de microorganismos;
- modelo del movimiento de las moléculas, etc.
En este caso, estamos hablando de modelos que se acercan lo más posible a los procesos reales. En general, imitan cualquier manifestación de la naturaleza. En el primer caso, por ejemplo, podemos modelar la dinámica del número de hormigas en una colonia. En este caso, puede observar el destino de cada individuo. En este caso, la descripción matemática rara vez se usa, más a menudo hay condiciones escritas:
- después de cinco días la hembra pone huevos;
- 20 días después la hormiga muere, y así sucesivamente.
Por lo tanto, los modelos de simulación se utilizan para describir un sistema grande. La conclusión matemática es el procesamiento de los datos estadísticos recibidos.
Requisitos
Muy importantetenga en cuenta que existen algunos requisitos para este tipo de modelo, entre los que se encuentran los que se indican en la siguiente tabla.
| Versatilidad | Esta propiedad le permite usar el mismo modelo al describir grupos de objetos del mismo tipo. Es importante señalar que los modelos matemáticos universales son completamente independientes de la naturaleza física del objeto de estudio |
| Adecuación | Es importante entender aquí que esta propiedad le permite reproducir procesos reales con la mayor precisión posible. En problemas de operación, esta propiedad del modelado matemático es muy importante. Un ejemplo de modelo es el proceso de optimización del uso de un sistema de gas. En este caso, los indicadores calculados y reales se comparan, como resultado, se verifica la exactitud del modelo compilado |
| Precisión | Este requisito implica la coincidencia de los valores que obtenemos al calcular el modelo matemático y los parámetros de entrada de nuestro objeto real |
| Economía | El requisito de rentabilidad para cualquier modelo matemático se caracteriza por los costos de implementación. Si el trabajo con el modelo se lleva a cabo manualmente, entonces es necesario calcular cuánto tiempo llevará resolver un problema utilizando este modelo matemático. Si estamos hablando de diseño asistido por computadora, entonces se calculan los indicadores del costo del tiempo y la memoria de la computadora |
Etapasmodelado
En total, se acostumbra distinguir cuatro etapas en el modelado matemático.
- Formula las leyes que unen las partes del modelo.
- Investigación de problemas matemáticos.
- Aclarando la coincidencia de resultados prácticos y teóricos.
- Análisis y modernización del modelo.
Modelo económico y matemático
En esta sección, destacaremos brevemente el tema de los modelos económicos y matemáticos. Ejemplos de tareas son:
- formación de un programa de producción para la elaboración de productos cárnicos, asegurando el máximo beneficio de la producción;
- maximizar el beneficio de la organización calculando el número óptimo de mesas y sillas que se producirán en una fábrica de muebles, etc.
El modelo económico-matemático muestra una abstracción económica, que se expresa mediante términos y signos matemáticos.
Modelo matemático por computadora
Los ejemplos de un modelo matemático por computadora son:
- problemas de hidráulica utilizando diagramas de flujo, diagramas, tablas, etc.;
- problemas de mecánica sólida, etc.
El modelo de computadora es una imagen de un objeto o sistema presentado como:
- mesas;
- diagramas de flujo;
- diagramas;
- gráficos, etc.
Al mismo tiempo, este modelo refleja la estructura y las interconexiones del sistema.
Construyendo un modelo económico-matemático
Ya hemos hablado de lo económicomodelo matemático. En este momento se considerará un ejemplo de cómo resolver el problema. Necesitamos analizar el programa de producción para identificar la reserva para aumentar las ganancias con un cambio en el surtido.
No consideraremos completamente el problema, solo construiremos un modelo económico y matemático. El criterio de nuestra tarea es la maximización del beneficio. Entonces la función tiene la forma: Л=р1х1+р2х2… tendiendo al máximo. En este modelo, p es el beneficio por unidad, x es el número de unidades producidas. Además, en base al modelo construido, es necesario realizar cálculos y resúmenes.
Un ejemplo de construcción de un modelo matemático simple
Tarea. El pescador volvió con la siguiente pesca:
- 8 peces - habitantes de los mares del norte;
- 20% de la captura - los habitantes de los mares del sur;
- no se encontró ni un solo pez en el río local.
¿Cuántos pescados compró en la tienda?
Entonces, un ejemplo de construcción de un modelo matemático de este problema es el siguiente. Denotamos el número total de peces como x. Siguiendo la condición, 0.2x es el número de peces que viven en las latitudes del sur. Ahora combinamos toda la información disponible y obtenemos el modelo matemático del problema: x=0, 2x+8. Resolvemos la ecuación y obtenemos la respuesta a la pregunta principal: compró 10 peces en la tienda.
