Todos los estudiantes han oído hablar de un cono redondo y se imaginan cómo se ve esta figura tridimensional. Este artículo define el desarrollo de un cono, proporciona fórmulas que describen sus características y describe cómo construirlo utilizando un compás, un transportador y una regla.
Cono circular en geometría
Vamos a dar una definición geométrica de esta figura. Un cono redondo es una superficie que está formada por segmentos de línea recta que conectan todos los puntos de un cierto círculo con un solo punto en el espacio. Este único punto no debe pertenecer al plano en el que se encuentra el círculo. Si tomamos un círculo en lugar de un círculo, este método también conduce a un cono.
El círculo se llama base de la figura, su circunferencia es la directriz. Los segmentos que conectan el punto con la directriz se llaman generatrices o generadores, y el punto donde se cortan es el vértice del cono.
El cono redondo puede ser recto u oblicuo. Ambas cifras se muestran en la siguiente figura.
La diferencia entre ellos es esta: si la perpendicular desde la parte superior del cono cae exactamente en el centro del círculo, entonces el cono será recto. Para él, la perpendicular, que se llama altura de la figura, forma parte de su eje. En el caso de un cono oblicuo, la altura y el eje forman un ángulo agudo.
Debido a la simplicidad y simetría de la figura, seguiremos considerando las propiedades de solo un cono recto con una base redonda.
Obtener una forma usando rotación
Antes de proceder a considerar el desarrollo de la superficie de un cono, es útil saber cómo se puede obtener esta figura espacial utilizando la rotación.
Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo con lados a, b, c. Los dos primeros son catetos, c es la hipotenusa. Pongamos un triángulo en la pata a y empecemos a rotarlo alrededor de la pata b. La hipotenusa c describirá entonces una superficie cónica. Esta sencilla técnica de cono se muestra en el siguiente diagrama.
Obviamente, el cateto a será el radio de la base de la figura, el cateto b será su altura y la hipotenusa c corresponde a la generatriz de un cono recto redondo.
Vista del desarrollo del cono
Como puedes suponer, el cono está formado por dos tipos de superficies. Uno de ellos es un círculo de base plana. Supongamos que tiene un radio r. La segunda superficie es lateral y se llama cónica. Sea su generador igual a g.
Si tenemos un cono de papel, podemos tomar unas tijeras y cortarle la base. Luego, la superficie cónica debe ser cortadaa lo largo de cualquier generatriz y desplegarlo en el plano. De esta manera, obtuvimos un desarrollo de la superficie lateral del cono. Las dos superficies, junto con el cono original, se muestran en el siguiente diagrama.
El círculo base se representa en la parte inferior derecha. La superficie cónica desplegada se muestra en el centro. Resulta que corresponde a algún sector circular del círculo, cuyo radio es igual a la longitud de la generatriz g.
Barrido de ángulo y área
Ahora tenemos fórmulas que, utilizando los parámetros conocidos g y r, nos permiten calcular el área y el ángulo del cono.
Obviamente, el arco de sector circular que se muestra arriba en la figura tiene una longitud igual a la circunferencia de la base, es decir:
l=2pir.
Si se construyera todo el círculo de radio g, entonces su longitud sería:
L=2pig.
Dado que la longitud L corresponde a 2pi radianes, entonces el ángulo sobre el que descansa el arco l se puede determinar a partir de la proporción correspondiente:
L==>2pi;
l==> φ.
Entonces el ángulo desconocido φ será igual a:
φ=2pil/L.
Sustituyendo las expresiones de las longitudes l y L, llegamos a la fórmula del ángulo de desarrollo de la superficie lateral del cono:
φ=2pir/g.
El ángulo φ aquí se expresa en radianes.
Para determinar el área Sbde un sector circular, usaremos el valor encontrado de φ. Hacemos una proporción más, solo para las áreas. Tenemos:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
De donde expresar Sb, y luego sustituir el valor del ángulo φ. Obtenemos:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Para el área de una superficie cónica, hemos obtenido una fórmula bastante compacta. El valor de Sb es igual al producto de tres factores: pi, el radio de la figura y su generatriz.
Entonces el área de toda la superficie de la figura será igual a la suma de Sb y So (circular área de la base). Obtenemos la fórmula:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Construyendo un barrido de un cono en papel
Para completar esta tarea necesitarás una hoja de papel, un lápiz, un transportador, una regla y un compás.
Primero que nada, dibujemos un triángulo rectángulo con lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm, su rotación alrededor del cateto de 3 cm dará el cono deseado. La figura tiene r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
La construcción de un barrido comenzará dibujando un círculo con radio r con una brújula. Su longitud será igual a 6pi cm Ahora junto a él dibujaremos otro círculo, pero con un radio g. Su longitud corresponderá a 10pi cm Ahora necesitamos cortar un sector circular de un círculo grande. Su ángulo φ es:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Ahora apartamos este ángulo con un transportador sobre un círculo de radio g y dibujamos dos radios que limitarán el sector circular.
EntoncesPor lo tanto, hemos construido un desarrollo del cono con los parámetros especificados de radio, altura y generatriz.
Un ejemplo de resolución de un problema geométrico
Dado un cono recto redondo. Se sabe que el ángulo de su barrido lateral es 120o. Es necesario encontrar el radio y la generatriz de esta figura, si se sabe que la altura h del cono es de 10 cm.
La tarea no es difícil si recordamos que un cono redondo es una figura de rotación de un triángulo rectángulo. De este triángulo se sigue una relación inequívoca entre altura, radio y generatriz. Escribamos la fórmula correspondiente:
g2=h2+ r2.
La segunda expresión a usar al resolver es la fórmula para el ángulo φ:
φ=2pir/g.
Así, tenemos dos ecuaciones que relacionan dos incógnitas (r y g).
Expresa g de la segunda fórmula y sustituimos el resultado en la primera, obtenemos:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Ángulo φ=120o en radianes es 2pi/3. Sustituimos este valor, obtenemos las fórmulas finales para r y g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Queda por sustituir el valor de la altura y obtener la respuesta a la pregunta del problema: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
