Cuando se estudian las propiedades de las figuras en el espacio tridimensional en el marco de la estereometría, a menudo hay que resolver problemas para determinar el volumen y el área de la superficie. En este artículo, mostraremos cómo calcular el volumen y el área de la superficie lateral de una pirámide truncada usando fórmulas bien conocidas.
Pirámide en geometría
En geometría, una pirámide ordinaria es una figura en el espacio, que está construida sobre un n-ágono plano. Todos sus vértices están conectados a un punto ubicado fuera del plano del polígono. Por ejemplo, aquí hay una foto que muestra una pirámide pentagonal.
Esta figura está formada por caras, vértices y aristas. La cara pentagonal se llama base. Las caras triangulares restantes forman la superficie lateral. El punto de intersección de todos los triángulos es el vértice principal de la pirámide. Si se baja una perpendicular desde allí hasta la base, son posibles dos opciones para la posición del punto de intersección:
- en el centro geométrico, entonces la pirámide se llama línea recta;
- no encentro geométrico, entonces la figura será oblicua.
Más adelante consideraremos solo figuras rectas con una base n-gonal regular.
¿Qué es esta figura, una pirámide truncada?
Para determinar el volumen de una pirámide truncada, es necesario entender claramente de qué figura se trata específicamente. Aclaremos este asunto.
Supongamos que tomamos un plano de corte paralelo a la base de una pirámide común y cortamos una parte de la superficie lateral con él. Si esta operación se realiza con la pirámide pentagonal que se muestra arriba, obtendrá una figura como la de la figura siguiente.
De la foto se puede ver que esta pirámide ya tiene dos bases, y la de arriba es similar a la de abajo, pero es más pequeña en tamaño. La superficie lateral ya no está representada por triángulos, sino por trapecios. Son isósceles y su número corresponde al número de lados de la base. La figura truncada no tiene vértice principal, como una pirámide regular, y su altura está determinada por la distancia entre bases paralelas.
En el caso general, si la figura considerada está formada por bases n-gonales, tiene n+2 caras o lados, 2n vértices y 3n aristas. Es decir, la pirámide truncada es un poliedro.
Fórmula para el volumen de una pirámide truncada
Recuerda que el volumen de una pirámide ordinaria es 1/3 del producto de su altura por el área de la base. Esta fórmula no es adecuada para una pirámide truncada, ya que tiene dos bases. y su volumensiempre será menor que el mismo valor para la figura regular de la que se deriva.
Sin entrar en los detalles matemáticos de la obtención de la expresión, presentamos la fórmula final para el volumen de una pirámide truncada. Está escrito de la siguiente manera:
V=1/3h(S1+ S2+ √(S1 S2))
Aquí S1 y S2 son las áreas de las bases inferior y superior, respectivamente, h es la altura de la figura. La expresión escrita es válida no solo para una pirámide recta regular truncada, sino también para cualquier figura de esta clase. Además, independientemente del tipo de polígonos base. La única condición que limita el uso de la expresión para V es la necesidad de que las bases de la pirámide sean paralelas entre sí.
Se pueden sacar varias conclusiones importantes estudiando las propiedades de esta fórmula. Entonces, si el área de la base superior es cero, llegamos a la fórmula de V de una pirámide ordinaria. Si las áreas de las bases son iguales entre sí, obtenemos la fórmula para el volumen del prisma.
¿Cómo determinar el área de la superficie lateral?
Conocer las características de una pirámide truncada requiere no solo la capacidad de calcular su volumen, sino también saber determinar el área de la superficie lateral.
La pirámide truncada consta de dos tipos de caras:
- trapecios isósceles;
- bases poligonales.
Si hay un polígono regular en las bases, entonces el cálculo de su área no representa grandesdificultades. Para hacer esto, solo necesitas saber la longitud del lado a y su número n.
En el caso de una superficie lateral, el cálculo de su área consiste en determinar este valor para cada uno de los n trapecios. Si el n-ágono es correcto, entonces la fórmula para el área de la superficie lateral se convierte en:
Sb=hbn(a1+a2)/2
Aquí hb es la altura del trapezoide, que se llama apotema de la figura. Las cantidades a1 y a2son las longitudes de los lados de bases n-gonales regulares.
Para cada pirámide truncada n-gonal regular, el apotema hb se puede definir de forma única a través de los parámetros a1 y a 2y la altura h de la figura.
La tarea de calcular el volumen y el área de una figura
Dada una pirámide triangular regular truncada. Se sabe que su altura h es de 10 cm, y las longitudes de los lados de las bases son de 5 cm y 3 cm ¿Cuál es el volumen de la pirámide truncada y el área de su superficie lateral?
Primero, calculemos el valor de V. Para ello, encuentra las áreas de los triángulos equiláteros ubicados en las bases de la figura. Tenemos:
S1=√3/4a12=√3/4 52=10,825 cm2;
S2=√3/4a22=√3/4 32=3,897 cm2
Sustituye los datos en la fórmula de V, obtenemos el volumen deseado:
V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3
Para determinar la superficie lateral, debes saberlongitud de apotema hb. Considerando el triángulo rectángulo correspondiente dentro de la pirámide, podemos escribir la igualdad para él:
hb=√((√3/6(a1-a2))2+ h2) ≈ 10,017 cm
El valor de la apotema y los lados de las bases triangulares se sustituyen en la expresión de Sb y obtenemos la respuesta:
Sb=hbn(a1+a2)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2 cm2
Así, respondimos todas las preguntas del problema: V ≈ 70.72 cm3, Sb ≈ 120.2 cm2.
