Al estudiar estereometría, uno de los temas principales es "Cilindro". El área de la superficie lateral se considera, si no la principal, una fórmula importante para resolver problemas geométricos. Sin embargo, es importante recordar definiciones que lo ayudarán a navegar a través de ejemplos y al probar varios teoremas.
Concepto de cilindro
Primero debemos considerar algunas definiciones. Solo después de estudiarlos, uno puede comenzar a considerar la cuestión de la fórmula para el área de la superficie lateral de un cilindro. En base a esta entrada, se pueden calcular otras expresiones.
- Se entiende por superficie cilíndrica un plano descrito por una generatriz, que se mueve y permanece paralelo a una dirección dada, deslizándose a lo largo de una curva existente.
- También hay una segunda definición: una superficie cilíndrica está formada por un conjunto de líneas paralelas que se cruzan con una curva dada.
- Generativo se llama convencionalmente la altura del cilindro. Cuando se mueve alrededor de un eje que pasa por el centro de la base,se obtiene el cuerpo geométrico designado.
- Debajo del eje se entiende una línea recta que pasa por ambas bases de la figura.
- Un cilindro es un cuerpo estereométrico delimitado por una superficie lateral que se corta y 2 planos paralelos.
Hay variedades de esta figura tridimensional:
- Circular es un cilindro cuya guía es un círculo. Sus componentes principales son el radio de la base y la generatriz. Este último es igual a la altura de la figura.
- Hay un cilindro recto. Obtuvo su nombre debido a la perpendicularidad de la generatriz a las bases de la figura.
- El tercer tipo es un cilindro biselado. En los libros de texto, también puede encontrar otro nombre para él: "cilindro circular con una base biselada". Esta cifra define el radio de la base, las alturas mínima y máxima.
- Se entiende por cilindro equilátero un cuerpo que tiene la misma altura y el mismo diámetro de un plano circular.
Símbolos
Tradicionalmente, los "componentes" principales de un cilindro se denominan de la siguiente manera:
- El radio de la base es R (también reemplaza el mismo valor de una figura estereométrica).
- Generativo – L.
- Altura – H.
- Área base - Sbase (en otras palabras, necesita encontrar el parámetro de círculo especificado).
- Alturas del cilindro biselado – h1, h2 (mínimo y máximo).
- Área de superficie lateral - Slado (si lo expandes, obtienesuna especie de rectángulo).
- El volumen de una figura estereométrica - V.
- Superficie total – S.
“Componentes” de una figura estereométrica
Al estudiar un cilindro, el área de la superficie lateral juega un papel importante. Esto se debe al hecho de que esta fórmula está incluida en varias otras más complejas. Por lo tanto, es necesario estar bien versado en teoría.
Los componentes principales de la figura son:
- Superficie lateral. Como sabes, se obtiene por el movimiento de la generatriz a lo largo de una curva dada.
- La superficie completa incluye las bases existentes y el plano lateral.
- La sección de un cilindro, por regla general, es un rectángulo situado paralelo al eje de la figura. De lo contrario, se llama avión. Resulta que el largo y el ancho son componentes a tiempo parcial de otras figuras. Entonces, condicionalmente, las longitudes de la sección son generadoras. Ancho - cuerdas paralelas de una figura estereométrica.
- Sección axial significa la ubicación del plano a través del centro del cuerpo.
- Y finalmente, la definición final. Una tangente es un plano que pasa por la generatriz del cilindro y forma ángulo recto con la sección axial. En este caso, se debe cumplir una condición. La generatriz especificada debe estar incluida en el plano de la sección axial.
Fórmulas básicas para trabajar con un cilindro
Para responder a la pregunta de cómo encontrar el área de superficie de un cilindro, es necesario estudiar los "componentes" principales de una figura estereométrica y las fórmulas para encontrarlos.
Estas fórmulas se diferencian en que primero se dan las expresiones para el cilindro biselado y luego para el recto.
Ejemplos deconstruidos
Tarea 1.
Es necesario conocer el área de la superficie lateral del cilindro. Se da la diagonal de la sección AC=8 cm (además, es axial). Al entrar en contacto con la generatriz, resulta <ACD=30°
Decisión. Como se conocen los valores de la diagonal y el ángulo, entonces en este caso:
CD=CAcos 30°
Comentario. El triángulo ACD, en este ejemplo particular, es un triángulo rectángulo. Esto significa que el cociente de dividir CD y AC=el coseno del ángulo dado. El valor de las funciones trigonométricas se puede encontrar en una tabla especial.
Del mismo modo, puede encontrar el valor de AD:
AD=ACsen 30°
Ahora necesitas calcular el resultado deseado usando la siguiente formulación: el área de la superficie lateral del cilindro es igual al doble del resultado de multiplicar "pi", el radio de la figura y su altura. También se debe usar otra fórmula: el área de la base del cilindro. Es igual al resultado de multiplicar "pi" por el cuadrado del radio. Y por último, la última fórmula: superficie total. Es igual a la suma de las dos áreas anteriores.
Tarea 2.
Se dan los cilindros. Su volumen=128n cm³. ¿Qué cilindro tiene el menorsuperficie completa?
Decisión. Primero necesitas usar las fórmulas para encontrar el volumen de una figura y su altura.
Dado que el área de superficie total de un cilindro se conoce de la teoría, se debe aplicar su fórmula.
Si consideramos la fórmula resultante en función del área del cilindro, entonces el "indicador" mínimo se alcanzará en el punto extremo. Para obtener el último valor, debe usar la diferenciación.
Las fórmulas se pueden ver en una tabla especial para encontrar derivadas. En el futuro, el resultado encontrado se iguala a cero y se encuentra la solución de la ecuación.
Respuesta: Smin se alcanzará en h=1/32 cm, R=64 cm.
Problema 3.
Dada una figura estereométrica - un cilindro y una sección. Este último se lleva a cabo de tal manera que se ubica paralelo al eje del cuerpo estereométrico. El cilindro tiene los siguientes parámetros: VK=17 cm h=15 cm R=5 cm Es necesario encontrar la distancia entre la sección y el eje.
Decisión.
Dado que la sección transversal de un cilindro se entiende como VSCM, es decir, un rectángulo, su lado VM=h. WMC debe ser considerado. El triángulo es rectangular. Con base en esta afirmación, podemos deducir la suposición correcta de que MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
De aquí podemos concluir que MK=BC=8 cm.
El siguiente paso es dibujar una sección a través de la base de la figura. Es necesario considerar el plano resultante.
AD – diámetro de una figura estereométrica. Es paralelo a la sección mencionada en el enunciado del problema.
BC es una línea recta ubicada en el plano del rectángulo existente.
ABCD es un trapezoide. En un caso particular, se considera isósceles, ya que a su alrededor se describe un círculo.
Si encuentras la altura del trapezoide resultante, puedes obtener la respuesta dada al principio del problema. A saber: encontrar la distancia entre el eje y la sección dibujada.
Para hacer esto, necesita encontrar los valores de AD y OS.
Respuesta: la sección se encuentra a 3 cm del eje.
Problemas para consolidar el material
Ejemplo 1.
Cilindro dado. El área de la superficie lateral se utiliza en la solución adicional. Se conocen otras opciones. El área de la base es Q, el área de la sección axial es M. Es necesario encontrar S. En otras palabras, el área total del cilindro.
Ejemplo 2.
Cilindro dado. El área de la superficie lateral se debe encontrar en uno de los pasos para resolver el problema. Se sabe que altura=4 cm, radio=2 cm Es necesario encontrar el área total de una figura estereométrica.
