El curso de geometría escolar se divide en dos grandes secciones: planimetría y geometría de sólidos. La estereometría estudia las figuras espaciales y sus características. En este artículo, veremos qué es un prisma recto y daremos fórmulas que describen sus propiedades, como longitudes diagonales, volumen y área de superficie.
¿Qué es un prisma?
Cuando se les pide a los escolares que nombren la definición de un prisma, responden que esta figura son dos polígonos paralelos idénticos, cuyos lados están conectados por paralelogramos. Esta definición es lo más general posible, ya que no impone condiciones sobre la forma de los polígonos, sobre su disposición mutua en planos paralelos. Además, implica la presencia de paralelogramos de conexión, cuya clase también incluye un cuadrado, un rombo y un rectángulo. A continuación puedes ver qué es un prisma cuadrangular.
Vemos que un prisma es un poliedro (poliedro) formado por n + 2lados, 2 × n vértices y 3 × n aristas, donde n es el número de lados (vértices) de uno de los polígonos.
Ambos polígonos suelen llamarse bases de la figura, las otras caras son los lados del prisma.
El concepto de un prisma recto
Hay diferentes tipos de prismas. Entonces, se habla de figuras regulares e irregulares, de prismas triangulares, pentagonales y otros, hay figuras convexas y cóncavas, y por último, están inclinadas y rectas. Hablemos de esto último con más detalle.
Un prisma recto es una figura de la clase estudiada de poliedros, cuyos cuadriláteros laterales tienen ángulos rectos. Solo hay dos tipos de tales cuadriláteros: un rectángulo y un cuadrado.
La forma considerada de la figura tiene una propiedad importante: la altura de un prisma recto es igual a la longitud de su arista lateral. Tenga en cuenta que todos los bordes laterales de la figura son iguales entre sí. En cuanto a las caras laterales, en el caso general no son iguales entre sí. Su igualdad es posible si, además de que el prisma es recto, también será correcto.
La siguiente figura muestra una figura recta con base pentagonal. Se puede ver que todas sus caras laterales son rectángulos.
Diagonales del prisma y sus parámetros lineales
Las principales características lineales de cualquier prisma son su altura h y las longitudes de los lados de su base ai, donde i=1, …, n. Si la base es un polígono regular, entonces basta con conocer la longitud a de un lado para describir sus propiedades. Conocer los parámetros lineales marcados nos permite inequívocamentedefinir tales propiedades de una figura como su volumen o superficie.
Las diagonales de un prisma recto son segmentos que conectan dos vértices no adyacentes cualesquiera. Tales diagonales pueden ser de tres tipos:
- tumbado en los planos base;
- ubicados en los planos de los rectángulos laterales;
- cifras pertenecientes al volumen.
Las longitudes de esas diagonales relacionadas con la base deben determinarse según el tipo de n-ágono.
Las diagonales de los lados de los rectángulos se calculan con la siguiente fórmula:
d1i=√(ai2+ h2).
Para determinar las diagonales de volumen, necesitas saber el valor de la longitud de la base diagonal y la altura correspondientes. Si alguna diagonal de la base se denota con la letra d0i, entonces la diagonal de volumen d2i se calcula de la siguiente manera:
d2i=√(d0i2+ h2).
Por ejemplo, en el caso de un prisma cuadrangular regular, la longitud de la diagonal del volumen será:
d2=√(2 × a2+ h2).
Tenga en cuenta que un prisma triangular recto tiene solo uno de los tres tipos de diagonales mencionados: la diagonal lateral.
Superficie de la clase de formas estudiada
El área de la superficie es la suma de las áreas de todas las caras de una figura. Para visualizar todas las caras, debe hacer un escaneo del prisma. A modo de ejemplo, a continuación se muestra un barrido de este tipo para una figura pentagonal.
Vemos que el número de figuras planas es n + 2, y n son rectángulos. Para calcular el área de todo el barrido, suma las áreas de dos bases idénticas y las áreas de todos los rectángulos. Entonces la fórmula correspondiente se verá así:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Esta igualdad muestra que el área de superficie lateral para el tipo de prismas estudiado es igual al producto de la altura de la figura por el perímetro de su base.
El área base de So se puede calcular aplicando la fórmula geométrica adecuada. Por ejemplo, si la base de un prisma recto es un triángulo rectángulo, obtenemos:
So=a1 × a2 / 2.
Donde a1 y a2 son los catetos del triángulo.
Si la base es un n-ágono con ángulos y lados iguales, entonces la siguiente fórmula será justa:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Fórmula de volumen
Determinar el volumen de un prisma de cualquier tipo no es una tarea difícil si se conocen el área de la base So y la altura h. Multiplicando estos valores entre sí, obtenemos el volumen V de la figura, es decir:
V=So × h.
Dado que el parámetro h de un prisma recto es igual a la longitud de la arista lateral, todo el problema de calcular el volumen se reduce a calcular el área So. arriba nosotrosYa he dicho algunas palabras y dado un par de fórmulas para determinar So. Aquí solo notamos que en el caso de una base de forma arbitraria, debe dividirla en segmentos simples (triángulos, rectángulos), calcular el área de cada uno y luego sumar todas las áreas para obtener S o.
