El prisma pentagonal para resolver problemas de geometría es mucho menos común que prismas triangulares, cuadrangulares o hexagonales. No obstante, es útil repasar las propiedades básicas de esta forma, así como aprender a dibujarla.
¿Qué es un prisma pentagonal?
Esta es una figura tridimensional, cuyas bases son pentágonos y los lados son paralelogramos. Si cada uno de estos paralelogramos es perpendicular a las bases paralelas, dicho prisma se llama rectangular. La superficie lateral de un prisma pentagonal rectangular se compone de cinco rectángulos. Además, el lado adyacente a la base de cada uno de ellos es igual a la longitud correspondiente del lado del pentágono.
Si el pentágono es regular, es decir, todos sus lados y ángulos son iguales entre sí, entonces dicho prisma rectangular se llama regular. Más adelante en el artículo consideraremos las propiedades de esta figura en particular.
Elementos del prisma
Para ella, como para cualquier prisma,los siguientes elementos son característicos:
- caras o lados son partes de planos que delimitan una figura en el espacio;
- tops - puntos de intersección de tres lados;
- costillas - segmentos de la intersección de dos lados de la figura.
Los números de todos los elementos nombrados están relacionados entre sí por la siguiente igualdad:
Número de aristas=número de vértices + número de caras - 2
Esta expresión se llama fórmula de Euler para el poliedro.
En un prisma pentagonal, el número de lados es siete (dos bases + cinco rectángulos). El número de picos es 10 (cinco para cada base). El número de aristas en este caso será:
Número de costillas=10 + 7 - 2=15
Diez aristas pertenecen a las bases del prisma, y cinco aristas están formadas por rectángulos.
¿Cómo dibujar un prisma pentagonal?
La respuesta a esta pregunta depende de la tarea específica. Si es necesario dibujar un prisma arbitrario, se debe dibujar cualquier pentágono. Después de eso, dibuja cinco segmentos paralelos de igual longitud desde cada vértice del pentágono. Luego, conecte los extremos superiores de los segmentos. El resultado es un prisma arbitrario pentagonal.
Si es necesario dibujar un prisma regular, toda la complejidad de la tarea se reduce a obtener un pentágono regular. Hay varias formas de dibujar este polígono. Aquí consideraremos solo dos formas.
La primera forma es dibujar un círculo con un compás. Luego se dibuja un diámetro arbitrariocírculo y cinco ángulos se cuentan usando un transportador en 72o(572o=360o). Al contar cada ángulo, se hace una muesca en el círculo. Para construir un rectángulo, queda conectar las muescas marcadas con segmentos rectos.
El segundo método consiste en utilizar únicamente un compás y una regla. Es algo complejo en comparación con el anterior. A continuación se muestra un video que explica en detalle cada paso de esta compilación.
Ten en cuenta que es fácil dibujar un pentágono si conectas los extremos de la estrella. Si no es necesario dibujar un pentágono exactamente regular, puede usar el método de la estrella dibujada a mano.
Tan pronto como se dibuja el pentágono, dibuja cinco segmentos paralelos idénticos desde cada uno de sus vértices y conecta sus vértices. El resultado es un prisma pentagonal.
Área de forma
Ahora considera cómo encontrar el área de un prisma pentagonal. La siguiente figura muestra su desarrollo. Se puede observar que el área requerida está formada por dos pentágonos idénticos y cinco rectángulos iguales entre sí.
El área de toda la superficie de la figura se expresa mediante la fórmula:
S=2So+ 5Sp
Aquí los índices o y p significan la base y el rectángulo, respectivamente. Denotemos la longitud del lado del pentágono como a, y la altura de la figura como h. Entonces para el rectángulo escribimos:
Sp=ah
Para calcular el área de un pentágono,usa la fórmula universal:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Donde n es el número de lados del polígono. Sustituyendo n=5, obtenemos:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
La precisión de la igualdad resultante es de 3 decimales, que es suficiente para resolver cualquier problema.
Ahora queda encontrar la suma de las áreas obtenidas de la base y la superficie lateral. Tenemos:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Debe recordarse que la fórmula resultante es válida solo para un prisma rectangular. En el caso de una figura oblicua, el área de su superficie lateral se encuentra a partir del conocimiento del perímetro del corte, el cual debe ser perpendicular a todos los paralelogramos.
El volumen de la figura
La fórmula para calcular el volumen de un prisma pentagonal no es diferente de una expresión similar para cualquier otro prisma o cilindro. El volumen de una figura es igual al producto de su altura por el área de la base:
V=Soh
Si el prisma en cuestión es rectangular, entonces su altura es la longitud del borde formado por los rectángulos. El área de un pentágono regular se ha calculado arriba con gran precisión. Sustituye este valor en la fórmula del volumen y obtén la expresión necesaria para un prisma pentagonal regular:
V=1, 72a2h
Así, calcular el volumen y el área de la superficieun prisma pentagonal regular es posible si se conocen el lado de la base y la altura de la figura.
