Las figuras geométricas en el espacio son objeto de estudio de la estereometría, cuyo curso es superado por los escolares de secundaria. Este artículo está dedicado a un poliedro tan perfecto como un prisma. Consideremos con más detalle las propiedades de un prisma y demos las fórmulas que sirven para describirlas cuantitativamente.
¿Qué es un prisma?
Todos imaginan cómo es una caja o un cubo. Ambas figuras son prismas. Sin embargo, la clase de prismas es mucho más diversa. En geometría, a esta figura se le da la siguiente definición: un prisma es cualquier poliedro en el espacio, que está formado por dos lados poligonales paralelos e idénticos y varios paralelogramos. Las caras paralelas idénticas de una figura se llaman sus bases (superior e inferior). Los paralelogramos son las caras laterales de la figura, que conectan los lados de la base entre sí.
Si la base está representada por un n-ágono, donde n es un número entero, entonces la figura constará de 2+n caras, 2n vértices y 3n aristas. Caras y aristas se refieren auno de dos tipos: o pertenecen a la superficie lateral, oa las bases. En cuanto a los vértices, todos son iguales y pertenecen a las bases del prisma.
Tipos de figuras de la clase en estudio
Estudiando las propiedades de un prisma, debes enumerar los posibles tipos de esta figura:
- Convexo y cóncavo. La diferencia entre ellos radica en la forma de la base poligonal. Si es cóncava, también será una figura tridimensional y viceversa.
- Recto y oblicuo. Para un prisma recto, las caras laterales son rectángulos o cuadrados. En una figura oblicua, las caras laterales son paralelogramos de tipo general o rombos.
- Incorrecto y correcto. Para que la figura a estudiar sea correcta, debe ser recta y tener la base correcta. Un ejemplo de esto último son las figuras planas como un triángulo equilátero o un cuadrado.
El nombre del prisma se forma teniendo en cuenta la clasificación indicada. Por ejemplo, el paralelepípedo o cubo de ángulo recto mencionado anteriormente se llama prisma cuadrangular regular. Los prismas regulares, debido a su alta simetría, son convenientes para estudiar. Sus propiedades se expresan en forma de fórmulas matemáticas específicas.
Área del prisma
Al considerar una propiedad de un prisma como su área, se refieren al área total de todas sus caras. Es más fácil imaginar este valor si despliega la figura, es decir, expande todas las caras en un solo plano. Abajo enLa figura muestra un ejemplo de un barrido de dos prismas.
Para un prisma arbitrario, la fórmula para el área de su barrido en forma general se puede escribir de la siguiente manera:
S=2So+ bPsr.
Vamos a explicar la notación. El valor So es el área de una base, b es la longitud del borde lateral, Psr es el perímetro de corte, que es perpendicular a los paralelogramos laterales de la figura.
La fórmula escrita se usa a menudo para determinar las áreas de prismas inclinados. En el caso de un prisma regular, la expresión de S tomará una forma específica:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
El primer término de la expresión representa el área de las dos bases de un prisma regular, el segundo término es el área de los rectángulos laterales. Aquí a es la longitud del lado de un n-ágono regular. Tenga en cuenta que la longitud del borde lateral b para un prisma regular también es su altura h, por lo que en la fórmula b puede reemplazarse por h.
¿Cómo calcular el volumen de una figura?
Prisma es un poliedro relativamente simple con alta simetría. Por tanto, para determinar su volumen, existe una fórmula muy sencilla. Tiene este aspecto:
V=Soh.
Calcular el área de la base y la altura puede ser complicado cuando se observa una forma irregular oblicua. Este problema se resuelve usando análisis geométrico secuencial que involucra información sobre los ángulos diédricos entre los paralelogramos laterales y la base.
Si el prisma es correcto entoncesla fórmula para V se vuelve bastante concreta:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Como puede ver, el área S y el volumen V de un prisma regular se determinan de forma única si se conocen dos de sus parámetros lineales.
Prisma regular triangular
Terminemos el artículo considerando las propiedades de un prisma triangular regular. Está formado por cinco caras, tres de las cuales son rectángulos (cuadrados) y dos son triángulos equiláteros. Un prisma tiene seis vértices y nueve aristas. Para este prisma, las fórmulas de volumen y área superficial se escriben a continuación:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Además de estas propiedades, también es útil dar una fórmula para la apotema de la base de la figura, que es la altura ha de un triángulo equilátero:
ha=√3/2a.
Los lados del prisma son rectángulos idénticos. Las longitudes de sus diagonales d son:
d=√(a2+ h2).
El conocimiento de las propiedades geométricas de un prisma triangular no solo tiene un interés teórico sino también práctico. El caso es que esta figura, hecha de vidrio óptico, se utiliza para estudiar el espectro de radiación de los cuerpos.
Al atravesar un prisma de vidrio, la luz se descompone en una serie de colores componentes como resultado del fenómeno de dispersión, que crea las condiciones para estudiar la composición espectral de un flujo electromagnético.
