Todo estudiante de secundaria conoce figuras espaciales como una bola, un cilindro, un cono, una pirámide y un prisma. En este artículo aprenderá qué es un prisma triangular y qué propiedades lo caracterizan.
¿Qué figura consideraremos en el artículo?
El prisma triangular es el representante más simple de la clase de prismas, que tiene menos lados, vértices y aristas que cualquier otra figura espacial similar. Este prisma está formado por dos triángulos, que pueden tener forma arbitraria, pero que necesariamente deben ser iguales entre sí y estar en planos paralelos en el espacio, y tres paralelogramos, que no son iguales entre sí en el caso general. Para mayor claridad, la figura descrita se muestra a continuación.
¿Cómo puedo obtener un prisma triangular? Es muy simple: debes tomar un triángulo y transferirlo a algún vector en el espacio. Luego conecta los vértices idénticos de los dos triángulos con segmentos. Entonces obtenemos el marco de la figura. Si ahora imaginamos que este marco limita los lados sólidos, entonces obtenemosfigura tridimensional representada.
¿De qué elementos se compone el prisma en estudio?
Un prisma triangular es un poliedro, es decir, está formado por varias caras o lados que se cortan. Se indicó anteriormente que tiene cinco de esos lados (dos triangulares y tres cuadrangulares). Los lados triangulares se llaman bases, mientras que los paralelogramos son caras laterales.
Como cualquier poliedro, el prisma estudiado tiene vértices. A diferencia de una pirámide, los vértices de cualquier prisma son iguales. La figura triangular tiene seis de ellos. Todos ellos pertenecen a ambas bases. Dos aristas base y una arista lateral se intersecan en cada vértice.
Si sumamos el número de vértices al número de lados de la figura, y luego restamos el número 2 del valor resultante, entonces obtendremos la respuesta a la pregunta de cuántas aristas tiene el prisma en consideración. Hay nueve de ellos: seis limitan las bases y los tres restantes separan los paralelogramos entre sí.
Tipos de forma
La descripción suficientemente detallada de un prisma triangular dada en los párrafos anteriores corresponde a varios tipos de figuras. Considere su clasificación.
El prisma estudiado puede ser inclinado y recto. La diferencia entre ellos radica en el tipo de caras laterales. En un prisma recto son rectángulos, y en uno inclinado son paralelogramos generales. A continuación se muestran dos prismas con bases triangulares, uno recto y otro oblicuo.
A diferencia de un prisma inclinado, un prisma recto tiene todos los ángulos diedros entre las bases ylos lados son de 90°. ¿Qué significa el último hecho? Que la altura de un prisma triangular, es decir, la distancia entre sus bases, en una figura recta es igual a la longitud de cualquier arista lateral. Para una figura oblicua, la altura siempre es menor que la longitud de cualquiera de sus aristas laterales.
El prisma con base triangular puede ser irregular y correcto. Si sus bases son triángulos con lados iguales, y la figura en sí es recta, entonces se llama regular. Un prisma regular tiene una simetría bastante alta, incluidos los planos de reflexión y los ejes de rotación. Para un prisma regular, las fórmulas para calcular su volumen y el área de superficie de las caras se darán a continuación. Entonces, en orden.
Área de un prisma triangular
Antes de proceder a obtener la fórmula correspondiente, desdoblemos el prisma correcto.
Es claro que el área de una figura se puede calcular sumando tres áreas de rectángulos idénticos y dos áreas de triángulos iguales con los mismos lados. Denotemos la altura del prisma con la letra h, y el lado de su base triangular, con la letra a. Entonces para el área del triángulo S3 tenemos:
S3=√3/4a2
Esta expresión se obtiene multiplicando la altura de un triángulo por su base y luego dividiendo el resultado por 2.
Para el área del rectángulo S4obtenemos:
S4=unh
Sumando las áreas de todos los lados, obtenemos la superficie total de la figura:
S=2 S3+ 3S4=√3/2a2+ 3ah
Aquí el primer término refleja el área de las bases, y el segundo es el área de la superficie lateral del prisma triangular.
Recuerda que esta fórmula es válida solo para una figura regular. En el caso de un prisma inclinado incorrecto, el cálculo del área debe realizarse por etapas: primero determine el área de las bases y luego, la superficie lateral. Este último será igual al producto del borde lateral y el perímetro del corte perpendicular a las caras laterales.
El volumen de la figura
El volumen de un prisma triangular se puede calcular usando la fórmula común a todas las figuras de esta clase. Parece:
V=So h
En el caso de un prisma triangular regular, esta fórmula tomará la siguiente forma específica:
V=√3/4a2 h
Si el prisma es irregular, pero recto, entonces en lugar del área de la base, debes sustituir el área correspondiente por el triángulo. Si el prisma está inclinado, además de determinar el área de la base, también se debe calcular su altura. Por regla general, se utilizan fórmulas trigonométricas para esto, si se conocen los ángulos diedros entre los lados y las bases.
