En la escuela secundaria, después de estudiar las propiedades de las figuras en el plano, pasan a la consideración de objetos geométricos espaciales como prismas, esferas, pirámides, cilindros y conos. En este artículo daremos la descripción más completa de un prisma triangular recto.
¿Qué es un prisma triangular?
Comencemos el artículo con la definición de la figura, que será discutida más adelante. Un prisma desde el punto de vista de la geometría es una figura en el espacio formada por dos n-ágonos idénticos ubicados en planos paralelos, cuyos ángulos iguales están conectados por segmentos de línea recta. Estos segmentos se denominan costillas laterales. Junto con los lados de la base, forman una superficie lateral, que generalmente se representa mediante paralelogramos.
Dos n-ágonos son las bases de la figura. Si los bordes laterales son perpendiculares a ellos, entonces hablan de un prisma recto. En consecuencia, si el número de lados n del polígono en las bases es tres, entonces esa figura se llama prisma triangular.
El prisma recto triangular se muestra arriba en la figura. Esta figura también se llama regular, ya que sus bases son triángulos equiláteros. La longitud del borde lateral de la figura, indicada por la letra h en la figura, se llama su altura.
La figura muestra que un prisma de base triangular está formado por cinco caras, dos de las cuales son triángulos equiláteros y tres son rectángulos idénticos. Además de las caras, el prisma tiene seis vértices en las bases y nueve aristas. Los números de elementos considerados están relacionados entre sí por el teorema de Euler:
número de aristas=número de vértices + número de lados - 2.
Área de un prisma triangular recto
Más arriba descubrimos que la figura en cuestión está formada por cinco caras de dos tipos (dos triángulos, tres rectángulos). Todas estas caras forman la superficie completa del prisma. Su área total es el área de la figura. A continuación se muestra el despliegue de un prisma triangular, que se puede obtener cortando primero dos bases de la figura y luego cortando a lo largo de un borde y desdoblando la superficie lateral.
Vamos a dar fórmulas para determinar el área de superficie de este barrido. Comencemos con las bases de un prisma triangular recto. Como representan triángulos, el área S3 de cada uno de ellos se puede encontrar de la siguiente manera:
S3=1/2aha.
Aquí a es el lado del triángulo, ha es la altura que baja del vértice del triángulo a este lado.
Si el triángulo es equilátero (regular), entonces la fórmula para S3depende de un solo parámetro a. Parece:
S3=√3/4a2.
Esta expresión se puede obtener considerando un triángulo rectángulo formado por los segmentos a, a/2, ha.
El área de las bases So para una figura regular es el doble del valor de S3:
So=2S3=√3/2a2.
En cuanto a la superficie lateral Sb, no es difícil calcularla. Para ello basta con multiplicar por tres el área de un rectángulo formado por los lados a y h. La fórmula correspondiente es:
Sb=3ah.
Así, el área de un prisma regular de base triangular se encuentra mediante la siguiente fórmula:
S=So+ Sb=√3/2a2+ 3 ah.
Si el prisma es recto pero irregular, entonces para calcular su área, debes sumar por separado las áreas de los rectángulos que no son iguales entre sí.
Determinar el volumen de una figura
El volumen de un prisma se entiende como el espacio limitado por sus lados (caras). Calcular el volumen de un prisma triangular recto es mucho más fácil que calcular su área de superficie. Para hacer esto, basta con conocer el área de la base y la altura de la figura. Como la altura h de una figura recta es la longitud de su arista lateral, y como calcular el área de la base, hemos dado en el apartado anteriorpunto, luego queda multiplicar estos dos valores entre sí para obtener el volumen deseado. La fórmula para ello se convierte en:
V=S3h.
Tenga en cuenta que el producto del área de una base y la altura dará el volumen no solo de un prisma recto, sino también de una figura oblicua e incluso de un cilindro.
Resolución de problemas
Los prismas triangulares de vidrio se utilizan en óptica para estudiar el espectro de la radiación electromagnética debida al fenómeno de la dispersión. Se sabe que un prisma de vidrio regular tiene una longitud de lado de base de 10 cm y una longitud de borde de 15 cm. ¿Cuál es el área de sus caras de vidrio y qué volumen contiene?
Para determinar el área, usaremos la fórmula escrita en el artículo. Tenemos:
S=√3/2a2+ 3ah=√3/2102 + 3 1015=536,6 cm2.
Para determinar el volumen V, también usamos la fórmula anterior:
V=S3h=√3/4a2h=√3/410 215=649,5 cm3.
A pesar de que las aristas del prisma miden 10 cm y 15 cm de largo, el volumen de la figura es de solo 0,65 litros (un cubo de 10 cm de lado tiene un volumen de 1 litro).
