El concepto de prisma. Fórmulas de volumen para prismas de diferentes tipos: regulares, rectos y oblicuos. La solución del problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 05:23

El volumen es una característica de cualquier figura que tiene dimensiones distintas de cero en las tres dimensiones del espacio. En este artículo, desde el punto de vista de la estereometría (la geometría de las figuras espaciales), consideraremos un prisma y mostraremos cómo encontrar los volúmenes de prismas de varios tipos.

¿Qué es un prisma?

La estereometría tiene la respuesta exacta a esta pregunta. Un prisma en él se entiende como una figura formada por dos caras poligonales idénticas y varios paralelogramos. La siguiente imagen muestra cuatro prismas diferentes.

Cada uno de ellos se puede obtener de la siguiente manera: necesitas tomar un polígono (triángulo, cuadrilátero, etc.) y un segmento de cierta longitud. Luego, cada vértice del polígono debe transferirse usando segmentos paralelos a otro plano. En el nuevo plano, que será paralelo al original, se obtendrá un nuevo polígono similar al elegido inicialmente.

Los prismas pueden ser de diferentes tipos. Entonces, pueden ser rectos, oblicuos y correctos. Si el borde lateral del prisma (segmento,conectando los vértices de las bases) perpendicular a las bases de la figura, entonces esta última es una línea recta. En consecuencia, si no se cumple esta condición, entonces estamos hablando de un prisma inclinado. Una figura regular es un prisma recto de base equiángulo y equilátero.

Más adelante en el artículo mostraremos cómo calcular el volumen de cada uno de estos tipos de prismas.

Volumen de prismas regulares

Comencemos con el caso más simple. Damos la fórmula para el volumen de un prisma regular con una base n-gonal. La fórmula del volumen V para cualquier figura de la clase considerada es la siguiente:

V=S_oh.

Es decir, para determinar el volumen basta con calcular el área de una de las bases S_o y multiplicarla por la altura h de la figura.

En el caso de un prisma regular, denotemos la longitud del lado de su base con la letra a, y la altura, que es igual a la longitud de la arista lateral, con la letra h. Si la base del n-ágono es correcta, entonces la forma más fácil de calcular su área es usar la siguiente fórmula universal:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Sustituyendo el valor del número de lados n y la longitud de un lado a en igualdad, puedes calcular el área de la base n-gonal. Tenga en cuenta que la función cotangente aquí se calcula para el ángulo pi/n, que se expresa en radianes.

Dada la igualdad escrita para S, obtenemos la fórmula final para el volumen de un prisma regular:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Para cada caso específico, puedes escribir las fórmulas correspondientes para V, pero todasse siguen únicamente de la expresión general escrita. Por ejemplo, para un prisma cuadrangular regular, que en el caso general es un paralelepípedo rectangular, obtenemos:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Si tomamos h=a en esta expresión, entonces obtenemos la fórmula para el volumen del cubo.

Volumen de prismas directos

Notamos de inmediato que para las figuras rectas no existe una fórmula general para calcular el volumen, que se dio anteriormente para los prismas regulares. Al encontrar el valor en cuestión, se debe usar la expresión original:

V=S_oh.

Aquí h es la longitud de la arista lateral, como en el caso anterior. En cuanto al área base S_o, puede tomar una variedad de valores. La tarea de calcular un prisma recto de volumen se reduce a encontrar el área de su base.

El cálculo del valor de S_odebe realizarse en base a las características de la propia base. Por ejemplo, si es un triángulo, el área se puede calcular así:

S_o3=1/2ah_a.

Aquí h_a es la apotema del triángulo, es decir, su altura rebajada a la base a.

Si la base es un cuadrilátero, entonces puede ser un trapezoide, un paralelogramo, un rectángulo o un tipo completamente arbitrario. Para todos estos casos, debe utilizar la fórmula de planimetría adecuada para determinar el área. Por ejemplo, para un trapezoide, esta fórmula se ve así:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Donde h_a es la altura del trapezoide, a₁ y a₂ son las longitudes de sus lados paralelos.

Para determinar el área de los polígonos de orden superior, debes dividirlos en formas simples (triángulos, cuadriláteros) y calcular la suma de las áreas de estos últimos.

Volumen de prisma inclinado

Este es el caso más difícil de calcular el volumen de un prisma. También se aplica la fórmula general para tales cifras:

V=S_oh.

Sin embargo, a la complejidad de encontrar el área de la base que representa un tipo arbitrario de polígono, se suma el problema de determinar la altura de la figura. Siempre es menor que la longitud del borde lateral en un prisma inclinado.

La forma más fácil de encontrar esta altura es conocer cualquier ángulo de la figura (plano o diedro). Si se da tal ángulo, entonces se debe usar para construir un triángulo rectángulo dentro del prisma, que contendría la altura h como uno de los lados y, usando funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras, encontrar el valor h.

Problema de volumen geométrico

Dado un prisma regular de base triangular, de 14 cm de altura y 5 cm de lado, ¿cuál es el volumen del prisma triangular?

Ya que estamos hablando de la cifra correcta, tenemos derecho a usar la conocida fórmula. Tenemos:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Un prisma triangular es una figura bastante simétrica, en cuya forma a menudo se hacen varias estructuras arquitectónicas. Este prisma de vidrio se utiliza en óptica.