La estereometría, como rama de la geometría en el espacio, estudia las propiedades de prismas, cilindros, conos, bolas, pirámides y otras figuras tridimensionales. Este artículo está dedicado a una revisión detallada de las características y propiedades de una pirámide regular hexagonal.
Qué pirámide se estudiará
Una pirámide hexagonal regular es una figura en el espacio, que está limitada por un hexágono equilátero y equiángulo, y seis triángulos isósceles idénticos. Estos triángulos también pueden ser equiláteros bajo ciertas condiciones. Esta pirámide se muestra a continuación.
Aquí se muestra la misma figura, solo que en un caso está girada con su cara lateral hacia el lector, y en el otro - con su borde lateral.
Una pirámide hexagonal regular tiene 7 caras, que se mencionaron anteriormente. También tiene 7 vértices y 12 aristas. A diferencia de los prismas, todas las pirámides tienen un vértice especial, que está formado por la intersección de los ladostriangulos. Para una pirámide regular, juega un papel importante, ya que la perpendicular que desciende desde la base de la figura es la altura. Además, la altura se indicará con la letra h.
La pirámide mostrada se considera correcta por dos razones:
- en su base hay un hexágono con lados iguales a y ángulos iguales de 120o;
- La altura de la pirámide h corta al hexágono exactamente en su centro (el punto de intersección se encuentra a la misma distancia de todos los lados y de todos los vértices del hexágono).
Superficie
Se considerarán las propiedades de una pirámide hexagonal regular a partir de la definición de su área. Para hacer esto, primero es útil desplegar la figura en un plano. A continuación se muestra una representación esquemática.
Se puede ver que el área del barrido, y por lo tanto toda la superficie de la figura bajo consideración, es igual a la suma de las áreas de seis triángulos idénticos y un hexágono.
Para determinar el área de un hexágono S6, usa la fórmula universal para un n-ágono regular:
S=n/4a2ctg(pi/n)=>
S6=3√3/2a2.
Donde a es la longitud del lado del hexágono.
El área de un triángulo S3 del lado lateral se puede encontrar si sabes el valor de su altura hb:
S3=1/2hba.
Porque los seislos triángulos son iguales entre sí, entonces obtenemos una expresión de trabajo para determinar el área de una pirámide hexagonal con la base correcta:
S=S6+ 6S3=3√3/2a2 + 61/2hba=3a(√3/2a + hb).
Volumen piramidal
Al igual que el área, el volumen de una pirámide regular hexagonal es su propiedad importante. Este volumen se calcula mediante la fórmula general para todas las pirámides y conos. Escribámoslo:
V=1/3Soh.
Aquí, el símbolo So es el área de la base hexagonal, es decir, So=S 6.
Sustituyendo la expresión anterior por S6 en la fórmula de V, llegamos a la igualdad final para determinar el volumen de una pirámide hexagonal regular:
V=√3/2a2h.
Un ejemplo de un problema geométrico
En una pirámide hexagonal regular, la arista lateral mide el doble de la longitud de la base. Sabiendo que este último mide 7 cm, es necesario calcular el área superficial y el volumen de esta figura.
Como puede suponer, la solución de este problema implica el uso de las expresiones obtenidas anteriormente para S y V. Sin embargo, no será posible usarlas de inmediato, ya que no conocemos la apotema y el altura de una pirámide hexagonal regular. Vamos a calcularlos.
La apotema hb se puede determinar considerando un triángulo rectángulo formado por los lados b, a/2 y hb. Aquí b es la longitud del borde lateral. Usando la condición del problema, obtenemos:
hb=√(b2-a2/4)=√(14 2-72/4)=13, 555 cm.
La altura h de la pirámide se puede determinar exactamente de la misma manera que una apotema, pero ahora debemos considerar un triángulo con lados h, b y a, ubicado dentro de la pirámide. La altura será:
h=√(b2- a2)=√(142- 7 2)=12, 124 cm.
Se puede ver que el valor de la altura calculada es menor que el de la apotema, lo cual es cierto para cualquier pirámide.
Ahora puedes usar expresiones para volumen y área:
S=3a(√3/2a + hb)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm2;
V=√3/2a2h=√3/27212, 124=514, 48cm3.
Por lo tanto, para determinar sin ambigüedades cualquier característica de una pirámide hexagonal regular, necesita conocer dos de sus parámetros lineales.
