La capacidad de calcular el volumen de figuras espaciales es importante para resolver una serie de problemas prácticos de geometría. Una de las formas más comunes es la pirámide. En este artículo, consideraremos las fórmulas para el volumen de la pirámide, tanto completa como truncada.
Pirámide como figura tridimensional
Todos conocen las pirámides de Egipto, así que tienen una buena idea de qué figura se discutirá. Sin embargo, las estructuras de piedra egipcias son solo un caso especial de una enorme clase de pirámides.
El objeto geométrico considerado en el caso general es una base poligonal, cada vértice del cual está conectado a algún punto en el espacio que no pertenece al plano base. Esta definición conduce a una figura que consta de un n-ágono y n triángulos.
Cualquier pirámide consta de n+1 caras, 2n aristas y n+1 vértices. Dado que la figura considerada es un poliedro perfecto, los números de elementos marcados obedecen a la igualdad de Euler:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
El polígono de la base da el nombre de la pirámide,por ejemplo, triangular, pentagonal, etc. En la foto de abajo se muestra un conjunto de pirámides con diferentes bases.
El punto en el que se conectan n triángulos de la figura se llama vértice de la pirámide. Si se baja una perpendicular desde ella hasta la base y la corta en el centro geométrico, entonces tal figura se llamará línea recta. Si no se cumple esta condición, entonces hay una pirámide inclinada.
Una figura recta cuya base está formada por un n-ágono equilátero (equiángulo) se llama regular.
Fórmula de volumen piramidal
Para calcular el volumen de la pirámide, usamos el cálculo integral. Para ello, dividimos la figura por planos secantes paralelos a la base en un número infinito de capas delgadas. La siguiente figura muestra una pirámide cuadrangular de altura h y longitud de lado L, en la que una delgada capa de sección está marcada con un cuadrilátero.
El área de cada capa se puede calcular usando la fórmula:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Aquí A0 es el área de la base, z es el valor de la coordenada vertical. Se puede ver que si z=0, entonces la fórmula da el valor A0.
Para obtener la fórmula del volumen de una pirámide, debes calcular la integral sobre toda la altura de la figura, es decir:
V=∫h0(A(z)dz).
Sustituyendo la dependencia A(z) y calculando la antiderivada, llegamos a la expresión:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Obtuvimos la fórmula para el volumen de la pirámide. Para encontrar el valor de V, basta con multiplicar la altura de la figura por el área de la base y luego dividir el resultado por tres.
Tenga en cuenta que la expresión resultante es válida para calcular el volumen de una pirámide de un tipo arbitrario. Es decir, puede estar inclinado y su base puede ser un n-ágono arbitrario.
La pirámide correcta y su volumen
La fórmula general para el volumen obtenida en el párrafo anterior se puede refinar en el caso de una pirámide con la base correcta. El área de dicha base se calcula usando la siguiente fórmula:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Aquí L es la longitud del lado de un polígono regular con n vértices. El símbolo pi es el número pi.
Sustituyendo la expresión por A0 en la fórmula general, obtenemos el volumen de una pirámide regular:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Por ejemplo, para una pirámide triangular, esta fórmula conduce a la siguiente expresión:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Para una pirámide cuadrangular regular, la fórmula del volumen se convierte en:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
La determinación del volumen de pirámides regulares requiere conocer el lado de su base y la altura de la figura.
Pirámide truncada
Supongamos que tomamosuna pirámide arbitraria y cortar una parte de su superficie lateral que contiene la parte superior. La figura restante se llama pirámide truncada. Ya consta de dos bases n-gonales y n trapecios que las conectan. Si el plano de corte era paralelo a la base de la figura, entonces se forma una pirámide truncada con bases paralelas similares. Es decir, las longitudes de los lados de uno de ellos se pueden obtener multiplicando las longitudes del otro por algún coeficiente k.
La imagen de arriba muestra una pirámide hexagonal regular truncada. Se puede observar que su base superior, al igual que la inferior, está formada por un hexágono regular.
La fórmula para el volumen de una pirámide truncada, que se puede derivar usando un cálculo integral similar al dado, es:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Donde A0 y A1 son las áreas de las bases inferior (grande) y superior (pequeña), respectivamente. La variable h es la altura de la pirámide truncada.
El volumen de la pirámide de Keops
Es interesante resolver el problema de determinar el volumen que contiene en su interior la pirámide egipcia más grande.
En 1984, los egiptólogos británicos Mark Lehner y Jon Goodman establecieron las dimensiones exactas de la pirámide de Keops. Su altura original era de 146,50 metros (actualmente unos 137 metros). La longitud promedio de cada uno de los cuatro lados de la estructura fue de 230.363 metros. La base de la pirámide es cuadrada con gran precisión.
Usemos las cifras dadas para determinar el volumen de este gigante de piedra. Como la pirámide es un cuadrangular regular, entonces la fórmula es válida para ella:
V4=1/3L2h.
Sustituye los números, obtenemos:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
El volumen de la pirámide de Keops es de casi 2,6 millones de m3. A modo de comparación, observamos que la piscina olímpica tiene un volumen de 2,5 mil m3. Es decir, para llenar toda la pirámide de Keops, ¡se necesitarán más de 1000 de estas piscinas!
