Todo estudiante sabe que el cuadrado de la hipotenusa siempre es igual a la suma de los catetos, cada uno de los cuales está elevado al cuadrado. Este enunciado se llama el teorema de Pitágoras. Es uno de los teoremas más famosos de la trigonometría y las matemáticas en general. Considéralo con más detalle.
El concepto de un triángulo rectángulo
Antes de proceder a considerar el teorema de Pitágoras, en el que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos que están elevados al cuadrado, debemos considerar el concepto y las propiedades de un triángulo rectángulo, para el cual el teorema es válido.
El triángulo es una figura plana con tres ángulos y tres lados. Un triángulo rectángulo, como su nombre lo indica, tiene un ángulo recto, es decir, este ángulo es 90o.
De las propiedades generales de todos los triángulos, se sabe que la suma de los tres ángulos de esta figura es 180o, lo que significa que para un triángulo rectángulo la suma de dos ángulos que no son rectos, es 180o -90o=90o. El último hecho significa que cualquier ángulo en un triángulo rectángulo que no sea un ángulo recto siempre será menor que 90o.
El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Los otros dos lados son los catetos del triángulo, pueden ser iguales entre sí o pueden diferir. Se sabe por trigonometría que cuanto mayor es el ángulo contra el cual se encuentra un lado en un triángulo, mayor es la longitud de este lado. Esto significa que en un triángulo rectángulo la hipotenusa (opuesta al ángulo 90o) siempre será mayor que cualquiera de los catetos (opuesta a los ángulos < 90o).
Notación matemática del teorema de Pitágoras
Este teorema dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos, cada uno de los cuales está previamente elevado al cuadrado. Para escribir matemáticamente esta formulación, considera un triángulo rectángulo en el que los lados a, b y c son los dos catetos y la hipotenusa, respectivamente. En este caso, el teorema, que establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, se puede representar mediante la siguiente fórmula: c2=a 2 + b 2. A partir de aquí, se pueden obtener otras fórmulas importantes para la práctica: a=√(c2 - b2), b=√(c 2 - a2) y c=√(a2 + b2).
Tenga en cuenta que en el caso de un triángulo equilátero rectángulo, es decir, a=b, la formulación: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos, cada uno de los cualesal cuadrado, escrito matemáticamente como: c2=a2 + b2=2a 2, lo que implica la igualdad: c=a√2.
Antecedentes históricos
El teorema de Pitágoras, que dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos, cada uno de los cuales está elevado al cuadrado, se conocía mucho antes de que el famoso filósofo griego le prestara atención. Muchos papiros del antiguo Egipto, así como tablillas de arcilla de los babilonios, confirman que estos pueblos usaron la propiedad señalada de los lados de un triángulo rectángulo. Por ejemplo, una de las primeras pirámides egipcias, la Pirámide de Khafre, cuya construcción data del siglo 26 a. C. (2000 años antes de la vida de Pitágoras), se construyó a partir del conocimiento de la relación de aspecto en un triángulo rectángulo de 3x4x5.
¿Por qué entonces el teorema ahora lleva el nombre de un griego? La respuesta es simple: Pitágoras es el primero en demostrar matemáticamente este teorema. Los escritos babilónicos y egipcios sobrevivientes solo mencionan su uso, pero no proporcionan ninguna prueba matemática.
Se cree que Pitágoras demostró el teorema bajo consideración usando las propiedades de los triángulos semejantes, que obtuvo al dibujar una altura en un triángulo rectángulo desde el ángulo 90o a la hipotenusa.
Un ejemplo del uso del teorema de Pitágoras
Considere un problema simple: es necesario determinar la longitud de una escalera inclinada L, si se sabe que tiene una altura H=3metros, y la distancia desde la pared contra la que descansa la escalera hasta el pie es P=2,5 metros.
En este caso, H y P son los catetos y L es la hipotenusa. Como la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, obtenemos: L2=H2 + P 2, de donde L=√(H2 + P2)=√(3 2 + 2, 5 2)=3,905 metros o 3 metros y 90,5 cm.
