Un triángulo es un polígono con tres lados (tres esquinas). Muy a menudo, los lados se denotan con letras minúsculas, que corresponden a las letras mayúsculas que denotan vértices opuestos. En este artículo, nos familiarizaremos con los tipos de estas formas geométricas, el teorema que determina cuál es la suma de los ángulos de un triángulo.
Vistas por ángulos
Se distinguen los siguientes tipos de polígonos de tres vértices:
- ángulo agudo, en el que todas las esquinas son agudas;
- rectangular, que tiene un solo ángulo recto, y los lados que lo forman se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa;
- obtuso cuando una esquina es obtusa;
- isósceles, en que dos lados son iguales, y se llaman laterales, y el tercero es la base del triángulo;
- equilátero, que tiene los tres lados iguales.
Propiedades
Se destacan las principales propiedades que son propias de cada tipo de triángulo:
- frente al lado mayor siempre hay un ángulo mayor, y viceversa;
- lados opuestos de igual tamaño son ángulos iguales y viceversa;
- cualquier triángulo tiene dos ángulos agudos;
- una esquina exterior es más grande que cualquier esquina interior no adyacente a ella;
- la suma de dos ángulos cualesquiera siempre es menor que 180 grados;
- esquina exterior es igual a la suma de las otras dos esquinas que no intersecan con ella.
Teorema de la suma de los ángulos del triángulo
El teorema establece que si sumas todos los ángulos de una figura geométrica dada, que se encuentra en el plano euclidiano, su suma será 180 grados. Intentemos demostrar este teorema.
Tengamos un triángulo arbitrario con vértices de KMN.
A través del vértice M dibuja una recta paralela a la recta KN (esta recta también se llama recta euclidiana). Marcamos el punto A de tal manera que los puntos K y A estén ubicados en diferentes lados de la línea recta MN. Obtenemos los ángulos iguales AMN y KNM, que, al igual que los internos, son transversales y están formados por la secante MN junto con las rectas KN y MA, que son paralelas. De esto se deduce que la suma de los ángulos del triángulo ubicado en los vértices M y H es igual al tamaño del ángulo KMA. Los tres ángulos forman la suma, que es igual a la suma de los ángulos KMA y MKN. Como estos ángulos son interiores unilaterales con respecto arectas paralelas KN y MA con secante KM, su suma es 180 grados. Teorema probado.
Consecuencia
El siguiente corolario se deriva del teorema demostrado anteriormente: cualquier triángulo tiene dos ángulos agudos. Para probar esto, supongamos que una figura geométrica dada tiene solo un ángulo agudo. También se puede suponer que ninguno de los ángulos es agudo. En este caso, debe haber al menos dos ángulos que sean iguales o mayores a 90 grados. Pero entonces la suma de los ángulos será mayor a 180 grados. Pero esto no puede ser, porque según el teorema, la suma de los ángulos de un triángulo es 180 °, ni más ni menos. Esto es lo que había que probar.
Propiedad de esquina exterior
¿Cuál es la suma de los ángulos de un triángulo que son externos? Esta pregunta se puede responder de una de dos maneras. La primera es que hay que encontrar la suma de los ángulos, que se toman uno en cada vértice, es decir, tres ángulos. El segundo implica que necesitas encontrar la suma de los seis ángulos en los vértices. Primero, tratemos con la primera opción. Entonces, el triángulo contiene seis esquinas externas, dos en cada vértice.
Cada par tiene ángulos iguales porque son verticales:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Además, se sabe que el ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos internos que no lo cortan. Por lo tanto, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
De esto resulta que la suma de losesquinas, que se toman una en cada vértice, será igual a:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Dado que la suma de los ángulos es 180 grados, se puede argumentar que ∟A + ∟B + ∟C=180°. Y esto significa que ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Si se usa la segunda opción, entonces la suma de los seis ángulos será, respectivamente, el doble. Es decir, la suma de los ángulos externos del triángulo será:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Triángulo rectángulo
¿Cuál es la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo? La respuesta a esta pregunta, de nuevo, se deriva del teorema, que establece que los ángulos de un triángulo suman 180 grados. Y nuestra declaración (propiedad) suena así: en un triángulo rectángulo, los ángulos agudos suman 90 grados. Demostremos su veracidad.
Démonos un triángulo KMN, en el que ∟Н=90°. Es necesario probar que ∟K + ∟M=90°.
Entonces, según el teorema de la suma de ángulos ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Nuestra condición dice que ∟Н=90°. Resulta que ∟K + ∟M + 90°=180°. Es decir, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Eso es lo que teníamos que probar.
Además de las propiedades anteriores de un triángulo rectángulo, puede agregar lo siguiente:
- los ángulos que se encuentran contra las piernas son agudos;
- la hipotenusa es triangular más que cualquiera de los catetos;
- la suma de los catetos es mayor que la hipotenusa;
- piernael triángulo opuesto a un ángulo de 30 grados es la mitad de la hipotenusa, es decir, igual a la mitad de ella.
Como otra propiedad de esta figura geométrica, se puede distinguir el teorema de Pitágoras. Ella afirma que en un triángulo con un ángulo de 90 grados (rectangular), la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
La suma de los ángulos de un triángulo isósceles
Antes dijimos que isósceles es un polígono con tres vértices, que contiene dos lados iguales. Esta propiedad de una figura geométrica dada es conocida: los ángulos en su base son iguales. Demostrémoslo.
Toma el triángulo KMN, que es isósceles, KN es su base.
Debemos demostrar que ∟К=∟Н. Entonces, digamos que MA es la bisectriz de nuestro triángulo KMN. El triángulo MCA, teniendo en cuenta el primer signo de igualdad, es igual al triángulo MCA. Es decir, por condición se da que KM=NM, MA es un lado común, ∟1=∟2, ya que MA es una bisectriz. Usando el hecho de que estos dos triángulos son iguales, podemos afirmar que ∟K=∟Н. Entonces el teorema está probado.
Pero nos interesa cuál es la suma de los ángulos de un triángulo (isosceles). Dado que a este respecto no tiene sus propias peculiaridades, partiremos del teorema considerado anteriormente. Es decir, podemos decir que ∟K + ∟M + ∟H=180°, o 2 x ∟K + ∟M=180° (ya que ∟K=∟H). No demostraremos esta propiedad, ya que el teorema de la suma de los triángulos se demostró anteriormente.
Excepto lo discutidopropiedades sobre los ángulos de un triángulo, también hay declaraciones tan importantes:
- en un triángulo isósceles, la altura que se baja a la base es tanto la mediana, la bisectriz del ángulo que está entre los lados iguales, como el eje de simetría de su base;
- las medianas (bisectrices, alturas) que se dibujan a los lados de una figura geométrica de este tipo son iguales.
Triángulo equilátero
También se le llama recto, es el triángulo con todos los lados iguales. Por lo tanto, los ángulos también son iguales. Cada uno es de 60 grados. Probemos esta propiedad.
Supongamos que tenemos un triángulo KMN. Sabemos que KM=NM=KN. Y esto significa que según la propiedad de los ángulos situados en la base de un triángulo isósceles, ∟К=∟М=∟Н. Dado que, según el teorema, la suma de los ángulos de un triángulo es ∟К + ∟М + ∟Н=180°, entonces 3 x ∟К=180° o ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ H=60°. Por tanto, el enunciado queda probado.
Como puedes ver en la prueba anterior basada en el teorema, la suma de los ángulos de un triángulo equilátero, como la suma de los ángulos de cualquier otro triángulo, es 180 grados. No hay necesidad de probar este teorema de nuevo.
También hay tales propiedades características de un triángulo equilátero:
- mediana, bisectriz, altura en tal figura geométrica son iguales, y su longitud se calcula como (a x √3): 2;
- si describe un círculo alrededor de un polígono dado, entonces su radio seráes igual a (a x √3): 3;
- si inscribes un círculo en un triángulo equilátero, entonces su radio será (a x √3): 6;
- el área de esta figura geométrica se calcula mediante la fórmula: (a2 x √3): 4.
Triángulo obt-ángulo
Según la definición de un triángulo obtuso, uno de sus ángulos mide entre 90 y 180 grados. Pero dado que los otros dos ángulos de esta figura geométrica son agudos, podemos concluir que no superan los 90 grados. Por lo tanto, el teorema de la suma de los ángulos del triángulo funciona cuando se calcula la suma de los ángulos en un triángulo obtuso. Resulta que podemos decir con seguridad, basándonos en el teorema antes mencionado, que la suma de los ángulos de un triángulo obtuso es 180 grados. Nuevamente, este teorema no necesita ser re-probado.
