El progreso de la humanidad se debe en gran medida a los descubrimientos de los genios. Uno de ellos es Blaise Pascal. Su biografía creativa confirma una vez más la verdad de la expresión de Lion Feuchtwanger "Una persona talentosa, talentosa en todo". Todos los logros científicos de este gran científico son difíciles de contar. Entre ellos se encuentra uno de los inventos más elegantes del mundo de las matemáticas: el triángulo de Pascal.
Algunas palabras sobre la genialidad
Blaise Pascal murió temprano según los estándares modernos, a la edad de 39 años. Sin embargo, en su corta vida se destacó como un destacado físico, matemático, filósofo y escritor. Los descendientes agradecidos nombraron la unidad de presión y el popular lenguaje de programación Pascal en su honor. Se ha utilizado durante casi 60 años para enseñar cómo escribir varios códigos. Por ejemplo, con su ayuda, cada estudiante puede escribir un programa para calcular el área de un triángulo en Pascal, así como explorar las propiedades del circuito, sobreque se discutirá a continuación.
La actividad de este científico con un pensamiento extraordinario abarca una amplia variedad de campos de la ciencia. En particular, Blaise Pascal es uno de los fundadores de la hidrostática, el análisis matemático, algunas áreas de la geometría y la teoría de la probabilidad. Además, él:
- creó una calculadora mecánica conocida como rueda de Pascal;
- proporcionó evidencia experimental de que el aire tiene elasticidad y peso;
- estableció que se puede usar un barómetro para predecir el clima;
- inventó la carretilla;
- inventó el ómnibus - carruajes tirados por caballos con rutas fijas, que más tarde se convirtió en el primer tipo de transporte público regular, etc.
Triángulo aritmético de Pascal
Como ya se mencionó, este gran científico francés hizo una gran contribución a la ciencia matemática. Una de sus obras maestras científicas absolutas es el "Tratado sobre el triángulo aritmético", que consiste en coeficientes binomiales dispuestos en un orden determinado. Las propiedades de este esquema son sorprendentes en su diversidad, y en sí mismo confirma el proverbio "¡Todo lo ingenioso es simple!".
Un poco de historia
Para ser justos, hay que decir que, de hecho, el triángulo de Pascal se conocía en Europa desde principios del siglo XVI. En particular, su imagen se puede ver en la portada de un libro de texto de aritmética del famoso astrónomo Peter Apian de la Universidad de Ingolstadt. También se muestra un triángulo similar como ilustración.en un libro del matemático chino Yang Hui, publicado en 1303. El notable poeta y filósofo persa Omar Khayyam también conocía sus propiedades a principios del siglo XII. Además, se cree que lo conoció por los tratados de científicos árabes e indios escritos anteriormente.
Descripción
Antes de explorar las propiedades más interesantes del triángulo de Pascal, hermoso en su perfección y simplicidad, vale la pena saber de qué se trata.
Científicamente hablando, este esquema numérico es una tabla triangular interminable formada por coeficientes binomiales dispuestos en un orden determinado. En su parte superior ya los lados están los números 1. Las posiciones restantes están ocupadas por números iguales a la suma de los dos números ubicados encima de ellos uno al lado del otro. Además, todas las líneas del triángulo de Pascal son simétricas respecto a su eje vertical.
Características básicas
El triángulo de Pascal sorprende con su perfección. Para cualquier línea numerada n (n=0, 1, 2…) verdadero:
- primer y último número son 1;
- segundo y penúltimo - n;
- el tercer número es igual al número triangular (el número de círculos que se pueden ordenar en un triángulo equilátero, es decir, 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- El cuarto número es tetraédrico, es decir, es una pirámide con un triángulo en la base.
Además, hace relativamente poco tiempo, en 1972, se estableció otra propiedad del triángulo de Pascal. para elpara averiguarlo, debe escribir los elementos de este esquema en forma de tabla con un cambio de fila de 2 posiciones. Luego anota los números divisibles por el número de línea. Resulta que el número de la columna en la que están res altados todos los números es un número primo.
El mismo truco se puede hacer de otra manera. Para ello, en el triángulo de Pascal se sustituyen los números por los restos de su división por el número de fila de la tabla. Luego, las líneas se organizan en el triángulo resultante para que el siguiente comience 2 columnas a la derecha del primer elemento del anterior. Entonces, las columnas con números que son números primos consistirán solo en ceros, y aquellas con números compuestos contendrán al menos un cero.
Conexión con el binomio de Newton
Como saben, este es el nombre de la fórmula para la expansión en términos de una potencia entera no negativa de la suma de dos variables, que se ve así:
Los coeficientes presentes en ellos son iguales a C m =n! / (m! (n - m)!), donde m es el número ordinal en la fila n del triángulo de Pascal. Es decir, teniendo esta tabla a mano, puedes elevar fácilmente cualquier número a una potencia, habiéndolos descompuesto previamente en dos términos.
Así, el triángulo de Pascal y el binomio de Newton están estrechamente relacionados.
Maravillas matemáticas
Un examen detallado del triángulo de Pascal revela que:
- la suma de todos los números en la línea conel número de serie n (contando desde 0) es 2;
- si las líneas están alineadas a la izquierda, entonces las sumas de los números que se encuentran a lo largo de las diagonales del triángulo de Pascal, yendo de abajo hacia arriba y de izquierda a derecha, son iguales a los números de Fibonacci;
- la primera "diagonal" consta de números naturales en orden;
- cualquier elemento del triángulo de Pascal, reducido en uno, es igual a la suma de todos los números ubicados dentro del paralelogramo, que está limitado por las diagonales izquierda y derecha que se cruzan en este número;
- en cada línea del diagrama, la suma de los números en los lugares pares es igual a la suma de los elementos en los lugares impares.
Triángulo de Sierpinski
Un esquema matemático tan interesante, bastante prometedor en términos de resolución de problemas complejos, se obtiene coloreando los números pares de la imagen de Pascal en un color y los números impares en otro.
El triángulo de Sierpinski se puede construir de otra manera:
- en el esquema sombreado de Pascal, el triángulo central se vuelve a pintar en un color diferente, que se forma conectando los puntos medios de los lados del original;
- haz exactamente lo mismo con tres sin pintar ubicados en las esquinas;
- si el procedimiento continúa indefinidamente, entonces el resultado debería ser una figura de dos colores.
La propiedad más interesante del triángulo de Sierpinski es su autosemejanza, ya que consta de 3 de sus copias, que se reducen 2 veces. Nos permite atribuir este esquema a las curvas fractales, y ellas, como lo muestra el últimoLa investigación es más adecuada para el modelado matemático de nubes, plantas, deltas de ríos y el universo mismo.
Varias tareas interesantes
¿Dónde se usa el triángulo de Pascal? Los ejemplos de tareas que se pueden resolver con su ayuda son bastante diversos y pertenecen a varios campos de la ciencia. Echemos un vistazo a algunos de los más interesantes.
Problema 1. Cierta ciudad grande rodeada por un muro de fortaleza tiene solo una puerta de entrada. En la primera intersección, la carretera principal se divide en dos. Lo mismo sucede en cualquier otro. 210 personas ingresan a la ciudad. En cada una de las intersecciones que se encuentran, se dividen por la mitad. Cuántas personas se encontrarán en cada intersección cuando ya no sea posible compartir. Su respuesta es la línea 10 del triángulo de Pascal (la fórmula del coeficiente se presenta arriba), donde los números 210 están ubicados a ambos lados del eje vertical.
Tarea 2. Hay 7 nombres de colores. Necesitas hacer un ramo de 3 flores. Se requiere averiguar de cuántas maneras diferentes se puede hacer esto. Este problema es del campo de la combinatoria. Para resolverlo, usamos nuevamente el triángulo de Pascal y colocamos en la línea 7 en la tercera posición (numeración en ambos casos desde 0) el número 35.
Ahora ya sabes lo que inventó el gran filósofo y científico francés Blaise Pascal. Su famoso triángulo, cuando se usa correctamente, puede convertirse en un verdadero salvavidas para resolver muchos problemas, especialmente del campo.combinatoria. Además, se puede utilizar para resolver numerosos misterios relacionados con los fractales.
