Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos para calcular el momento de inercia

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 05:23

En la descripción matemática del movimiento de rotación, es importante conocer el momento de inercia del sistema con respecto al eje. En el caso general, el procedimiento para encontrar esta cantidad involucra la implementación del proceso de integración. El llamado teorema de Steiner lo hace más fácil de calcular. Considerémoslo con más detalle en el artículo.

¿Qué es el momento de inercia?

Antes de dar la formulación del teorema de Steiner, es necesario tratar el concepto mismo del momento de inercia. Supongamos que hay algún cuerpo de cierta masa y forma arbitraria. Este cuerpo puede ser tanto un punto material como cualquier objeto bidimensional o tridimensional (varilla, cilindro, bola, etc.). Si el objeto en cuestión realiza un movimiento circular alrededor de algún eje con aceleración angular constante α, entonces se puede escribir la siguiente ecuación:

M=Yoα

Aquí, el valor M representa el momento total de las fuerzas, lo que da una aceleración α a todo el sistema. El coeficiente de proporcionalidad entre ellos - I, se llamamomento de inercia. Esta cantidad física se calcula mediante la siguiente fórmula general:

I=∫_m (r²dm)

Aquí r es la distancia entre el elemento de masa dm y el eje de rotación. Esta expresión significa que es necesario encontrar la suma de los productos de las distancias al cuadrado r² y la masa elemental dm. Es decir, el momento de inercia no es una característica pura del cuerpo, lo que lo distingue de la inercia lineal. Depende de la distribución de la masa en todo el objeto que gira, así como de la distancia al eje y de la orientación del cuerpo con respecto a él. Por ejemplo, una barra tendrá una I diferente si se gira alrededor del centro de masa y alrededor del extremo.

Momento de inercia y teorema de Steiner

El famoso matemático suizo, Jakob Steiner, demostró el teorema de los ejes paralelos y el momento de inercia, que ahora lleva su nombre. Este teorema postula que el momento de inercia para absolutamente cualquier cuerpo rígido de geometría arbitraria con respecto a algún eje de rotación es igual a la suma del momento de inercia con respecto al eje que corta el centro de masa del cuerpo y es paralelo al primero., y el producto de la masa corporal por el cuadrado de la distancia entre estos ejes. Matemáticamente, esta formulación se escribe de la siguiente manera:

I_Z=I_O + ml²

I_Z e I_O - momentos de inercia sobre el eje Z y el eje O paralelo a él, que pasa a través del centro de masa del cuerpo, l - distancia entre las líneas Z y O.

El teorema permite, conociendo el valor de I_O, calcularcualquier otro momento I_Z alrededor de un eje paralelo a O.

Prueba del teorema

La fórmula del teorema de Steiner se puede obtener fácilmente por sí mismo. Para hacer esto, considere un cuerpo arbitrario en el plano xy. Deje que el origen de coordenadas pase por el centro de masa de este cuerpo. Calculemos el momento de inercia I_O que pasa por el origen perpendicular al plano xy. Dado que la distancia a cualquier punto del cuerpo se expresa mediante la fórmula r=√ (x² + y²), entonces obtenemos la integral:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Ahora vamos a mover el eje paralelo al eje x una distancia l, por ejemplo, en la dirección positiva, luego el cálculo para el nuevo eje del momento de inercia se verá así:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)mmm)

Expande el cuadrado completo entre paréntesis y divide los integrandos, obtenemos:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

El primero de estos términos es el valor I_O, el tercer término, después de la integración, da el término l²m, y aquí el segundo término es cero. La puesta a cero de la integral especificada se debe al hecho de que se toma del producto de x y los elementos de masa dm, que enpromedio da cero, ya que el centro de masa está en el origen. Como resultado se obtiene la fórmula del teorema de Steiner.

El caso considerado en el plano puede generalizarse a un cuerpo tridimensional.

Comprobando la fórmula de Steiner en el ejemplo de una varilla

Demos un ejemplo simple para demostrar cómo usar el teorema anterior.

Se sabe que para una barra de longitud L y masa m, el momento de inercia I_O(el eje pasa por el centro de masa) es igual a m L² /12, y el momento I_Z(el eje pasa por el extremo de la barra) es igual a mL 2^{/3. Verifiquemos estos datos usando el teorema de Steiner. Como la distancia entre los dos ejes es L/2, entonces obtenemos el momento I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Es decir, comprobamos la fórmula de Steiner y obtuvimos el mismo valor para I_Z que en la fuente.

Se pueden realizar cálculos similares para otros cuerpos (cilindro, bola, disco), obteniendo los momentos de inercia necesarios y sin realizar la integración.

Momento de inercia y ejes perpendiculares

El teorema considerado se refiere a ejes paralelos. Para completar la información, también es útil dar un teorema para ejes perpendiculares. Se formula de la siguiente manera: para un objeto plano de forma arbitraria, el momento de inercia con respecto a un eje perpendicular a él será igual a la suma de dos momentos de inercia con respecto a dos perpendiculares entre sí y que se encuentranen el plano del objeto de los ejes, con los tres ejes pasando por el mismo punto. Matemáticamente, esto se escribe de la siguiente manera:

I_z=I_x + I_y

Aquí z, x, y son tres ejes de rotación mutuamente perpendiculares.

La diferencia esencial entre este teorema y el teorema de Steiner es que sólo es aplicable a objetos sólidos planos (bidimensionales). Sin embargo, en la práctica se usa ampliamente, cortando mentalmente el cuerpo en capas separadas y luego sumando los momentos de inercia obtenidos.