El estudio cuantitativo de la dinámica y la cinemática del movimiento de rotación requiere el conocimiento del momento de inercia de un punto material y un cuerpo rígido en relación con el eje de rotación. Consideraremos en el artículo de qué parámetro estamos hablando y también daremos una fórmula para determinarlo.
Información general sobre la cantidad física
Primero, definamos el momento de inercia de un punto material y un cuerpo rígido, y luego mostremos cómo debe usarse para resolver problemas prácticos.
Bajo la característica física indicada para un punto de masa m, que gira alrededor del eje a una distancia r, se entiende el siguiente valor:
I=metror².
De donde se deduce que la unidad de medida del parámetro estudiado es el kilogramo por metro cuadrado (kgm²).
Si, en lugar de un punto alrededor de un eje, gira un cuerpo de forma compleja, que tiene una distribución arbitraria de masa dentro de sí mismo, entonces se determina su momento de inerciaentonces:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Donde ρ es la densidad del cuerpo. Usando la fórmula integral, puedes determinar el valor de I para absolutamente cualquier sistema de rotación.
El momento de inercia tiene exactamente el mismo significado para la rotación que la masa para el movimiento de traslación. Por ejemplo, todo el mundo sabe que es más fácil girar una fregona alrededor de un eje que pasa por su mango que por uno perpendicular. Esto se debe a que el momento de inercia en el primer caso es mucho menor que en el segundo.
Valoro para cuerpos de diferentes formas
Al resolver problemas de física para la rotación, a menudo es necesario conocer el momento de inercia de un cuerpo de una forma geométrica específica, por ejemplo, para un cilindro, una bola o una barra. Si aplicamos la fórmula escrita arriba para I, entonces es fácil obtener la expresión correspondiente para todos los cuerpos marcados. A continuación se muestran las fórmulas para algunos de ellos:
varilla: I=1 / 12ML²;
cilindro: I=1 / 2MR²;
esfera: I=2 / 5MR².
Aquí se da I para el eje de rotación, que pasa por el centro de masa del cuerpo. En el caso de un cilindro, el eje es paralelo al generador de la figura. El momento de inercia para otros cuerpos geométricos y las opciones para la ubicación de los ejes de rotación se pueden encontrar en las tablas correspondientes. Tenga en cuenta que para determinar I diferentes figuras, es suficiente conocer solo un parámetro geométrico y la masa del cuerpo.
Teorema y fórmula de Steiner
El momento de inercia se puede determinar si el eje de rotación se encuentra a cierta distancia del cuerpo. Para ello, debe conocer la longitud de este segmento y el valor IO del cuerpo con respecto al eje que pasa por el centro de su masa, que debe ser paralelo al que está debajo. consideración. Establecer una conexión entre el parámetro IO y el valor desconocido I se fija en el teorema de Steiner. El momento de inercia de un punto material y un cuerpo rígido se escribe matemáticamente de la siguiente manera:
I=IO+ Mh2.
Aquí M es la masa del cuerpo, h es la distancia desde el centro de masa al eje de rotación, con respecto a la cual es necesario calcular I. Esta expresión es fácil de obtener por su cuenta si use la fórmula integral para I y tenga en cuenta que todos los puntos del cuerpo están a distancias r=r0 + h.
El teorema de Steiner simplifica enormemente la definición de I para muchas situaciones prácticas. Por ejemplo, si necesita encontrar I para una barra de longitud L y masa M con respecto a un eje que pasa por su extremo, aplicar el teorema de Steiner le permite escribir:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Puede consultar la tabla correspondiente y ver que contiene exactamente esta fórmula para una barra delgada con un eje de rotación en su extremo.
Ecuación del momento
En la física de la rotación existe una fórmula llamada ecuación de momentos. Tiene este aspecto:
M=Yoα.
Aquí M es el momento de la fuerza, α es la aceleración angular. Como puede ver, el momento de inercia de un punto material y un cuerpo rígido y el momento de fuerza están relacionados linealmente entre sí. El valor M determina la posibilidad de que alguna fuerza F cree un movimiento de rotación con aceleración α en el sistema. Para calcular M, use la siguiente expresión simple:
M=Fd.
Donde d es el hombro del momento, que es igual a la distancia del vector de fuerza F al eje de rotación. Cuanto más pequeño sea el brazo d, menos capacidad tendrá la fuerza para crear la rotación del sistema.
La ecuación de momentos en su significado es totalmente consistente con la segunda ley de Newton. En este caso, I juega el papel de la masa inercial.
Ejemplo de resolución de problemas
Imaginemos un sistema que es un cilindro fijo sobre un eje vertical con una barra horizontal ingrávida. Se sabe que el eje de rotación y el eje principal del cilindro son paralelos entre sí, y la distancia entre ellos es de 30 cm. La masa del cilindro es de 1 kg y su radio es de 5 cm. Una fuerza de 10 N tangente a la trayectoria de rotación actúa sobre la figura, cuyo vector pasa por el eje principal del cilindro. Es necesario determinar la aceleración angular de la figura, que provocará esta fuerza.
Primero, calculemos el momento de inercia del cilindro I. Para ello aplicamos el teorema de Steiner, tenemos:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Antes de usar la ecuación del momento, necesitasdetermine el momento de la fuerza M. En este caso, tenemos:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Ahora puedes determinar la aceleración:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
La aceleración angular calculada indica que cada segundo la velocidad del cilindro aumentará 5,2 revoluciones por segundo.
