Un objeto geométrico importante que se estudia en el espacio plano es una línea recta. En el espacio tridimensional, además de la línea recta, también existe un plano. Ambos objetos se definen convenientemente usando vectores de dirección. ¿Qué es, cómo se usan estos vectores para determinar las ecuaciones de una línea recta y un plano? Estas y otras preguntas se tratan en el artículo.
Línea directa y cómo definirla
Cada alumno tiene una buena idea de qué objeto geométrico está hablando. Desde el punto de vista de las matemáticas, una línea recta es un conjunto de puntos que, en el caso de su conexión arbitraria por pares, conducen a un conjunto de vectores paralelos. Esta definición de línea se usa para escribir una ecuación para ella en dos y tres dimensiones.
Para describir el objeto unidimensional considerado, se utilizan diferentes tipos de ecuaciones, que se enumeran a continuación:
- vista general;
- paramétrico;
- vectorial;
- canónico o simétrico;
- en segmentos.
Cada una de estas especies tiene algunas ventajas sobre las demás. Por ejemplo, una ecuación en segmentos es conveniente para estudiar el comportamiento de una línea recta en relación con los ejes de coordenadas, una ecuación general es conveniente para encontrar una dirección perpendicular a una línea recta dada, así como para calcular el ángulo de su intersección con el eje x (para un caso plano).
Dado que el tema de este artículo está relacionado con el vector director de una línea recta, consideraremos solo la ecuación donde este vector es fundamental y está contenido explícitamente, es decir, una expresión vectorial.
Especificando una línea recta a través de un vector
Supongamos que tenemos un vector v¯ con coordenadas conocidas (a; b; c). Como hay tres coordenadas, el vector se da en el espacio. ¿Cómo representarlo en un sistema de coordenadas rectangulares? Esto se hace de manera muy simple: en cada uno de los tres ejes, se traza un segmento, cuya longitud es igual a la coordenada correspondiente del vector. El punto de intersección de las tres perpendiculares restituidas a los planos xy, yz y xz será el final del vector. Su comienzo es el punto (0; 0; 0).
Sin embargo, la posición dada del vector no es la única. De manera similar, uno puede dibujar v¯ colocando su origen en un punto arbitrario en el espacio. Estos argumentos dicen que es imposible establecer una línea específica usando un vector. Define una familia de un número infinito de líneas paralelas.
Ahorafijar algún punto P(x0; y0; z0) del espacio. Y ponemos la condición: una recta debe pasar por P. En este caso, el vector v¯ también debe contener este punto. El último hecho significa que se puede definir una sola línea usando P y v¯. Se escribirá como la siguiente ecuación:
Q=PAG + λ × v¯
Aquí Q es cualquier punto perteneciente a la recta. Este punto se puede obtener eligiendo el parámetro apropiado λ. La ecuación escrita se llama ecuación vectorial y v¯ se llama vector director de la línea recta. Disponiéndolo de modo que pase por P y cambiando su longitud con el parámetro λ, obtenemos cada punto de Q como una línea recta.
En forma de coordenadas, la ecuación se escribirá de la siguiente manera:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Y en forma explícita (paramétrica), puedes escribir:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Si excluimos la tercera coordenada en las expresiones anteriores, obtenemos las ecuaciones vectoriales de la línea recta en el plano.
¿Para qué tareas es útil conocer el vector de dirección?
Por regla general, estas son tareas para determinar el paralelismo y la perpendicularidad de las líneas. Además, el vector directo que determina la dirección se usa al calcular la distancia entre las rectas y un punto y una recta, para describir el comportamiento de una recta con respecto a un plano.
Doslas rectas serán paralelas si sus vectores directores lo son. En consecuencia, la perpendicularidad de las rectas se prueba utilizando la perpendicularidad de sus vectores. En este tipo de problemas basta con calcular el producto escalar de los vectores considerados para obtener la respuesta.
En el caso de las tareas de cálculo de distancias entre líneas y puntos, el vector dirección se incluye explícitamente en la fórmula correspondiente. Escribámoslo:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Aquí P1P2¯ - construido sobre los puntos P1 y P 2 segmento dirigido. El punto P2 es arbitrario y se encuentra en la recta con el vector v¯, mientras que el punto P1 es aquel al que debe medirse la distancia. ser determinado. Puede ser independiente o pertenecer a otra línea o plano.
Tenga en cuenta que tiene sentido calcular la distancia entre líneas solo cuando son paralelas o se cruzan. Si se cruzan, entonces d es cero.
La fórmula anterior para d también es válida para calcular la distancia entre un plano y una línea recta paralela a él, solo que en este caso P1debe pertenecer al plano.
Resolvamos varios problemas para mostrar mejor cómo usar el vector considerado.
Problema de ecuación vectorial
Se sabe que una línea recta se describe mediante la siguiente ecuación:
y=3 × x - 4
Debes escribir la expresión apropiada enforma vectorial.
Esta es una ecuación típica de una línea recta, conocida por todos los escolares, escrita en forma general. Vamos a mostrar cómo reescribirlo en forma vectorial.
La expresión se puede representar como:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Se puede ver que si lo abres, obtienes la igualdad original. Ahora dividimos su lado derecho en dos vectores para que solo uno de ellos contenga x, tenemos:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Queda por quitar x de los paréntesis, designarlo con un símbolo griego e intercambiar los vectores del lado derecho:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Obtuvimos la forma vectorial de la expresión original. Las coordenadas del vector de dirección de la línea recta son (1; 3).
La tarea de determinar la posición relativa de las líneas
Se dan dos líneas en el espacio:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
¿Son paralelas, se cruzan o se cruzan?
Los vectores distintos de cero (-1; 3; 1) y (1; 2; 0) serán guías para estas líneas. Expresemos estas ecuaciones en forma paramétrica y sustituyamos las coordenadas de la primera en la segunda. Obtenemos:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Sustituya el parámetro λ encontrado en las dos ecuaciones anteriores, obtenemos:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
El parámetro γ no puede tomar dos valores diferentes al mismo tiempo. Esto quiere decir que las rectas no tienen un solo punto en común, es decir, se cortan. No son paralelos, ya que los vectores distintos de cero no son paralelos entre sí (para su paralelismo debe existir un número que, multiplicado por un vector, dé las coordenadas del segundo).
Descripción matemática del avión
Para poner un plano en el espacio, damos una ecuación general:
A × x + B × y + C × z + D=0
Aquí las letras mayúsculas latinas representan números específicos. Los tres primeros definen las coordenadas del vector normal del plano. Si se denota por n¯, entonces:
n¯=(A; B; C)
Este vector es perpendicular al plano, por lo que se llama guía. Su conocimiento, así como las coordenadas conocidas de cualquier punto perteneciente al plano, determinan de forma única este último.
Si el punto P(x1; y1; z1) pertenece a el plano, entonces la intersección D se calcula de la siguiente manera:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Resolvamos un par de problemas usando la ecuación general del avión.
Tarea paraencontrar el vector normal del plano
El plano se define de la siguiente manera:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
¿Cómo encontrar un vector de dirección para ella?
De la teoría anterior se deduce que las coordenadas del vector normal n¯ son los coeficientes delante de las variables. En este sentido, para encontrar n¯, la ecuación debe escribirse en forma general. Tenemos:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Entonces el vector normal del plano es:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
El problema de elaborar la ecuación del plano
Se dan las coordenadas de tres puntos:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
¿Cómo será la ecuación del plano que contiene todos estos puntos?
A través de tres puntos que no pertenecen a la misma línea, solo se puede dibujar un plano. Para encontrar su ecuación, primero calculamos el vector director del plano n¯. Para hacer esto, procedemos de la siguiente manera: encontramos dos vectores arbitrarios que pertenecen al plano y calculamos su producto vectorial. Dará un vector que será perpendicular a este plano, es decir, n¯. Tenemos:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Toma el punto M1para dibujarexpresiones planas. Obtenemos:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Hemos obtenido una expresión de tipo general para un plano en el espacio definiendo primero un vector de dirección para él.
La propiedad del producto vectorial debe recordarse al resolver problemas con planos, ya que permite determinar las coordenadas de un vector normal de forma sencilla.
