Avión en el espacio. Ubicación de los aviones en el espacio

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2024-01-02 17:45

Un plano es un objeto geométrico cuyas propiedades se utilizan al construir proyecciones de puntos y líneas, así como al calcular distancias y ángulos diédricos entre elementos de figuras tridimensionales. Consideremos en este artículo qué ecuaciones se pueden usar para estudiar la ubicación de los planos en el espacio.

Definición del plano

Todos imaginan intuitivamente qué objeto se discutirá. Desde un punto de vista geométrico, un plano es una colección de puntos, cuyos vectores deben ser perpendiculares a algún vector. Por ejemplo, si hay m puntos diferentes en el espacio, entonces se pueden hacer m(m-1) / 2 vectores diferentes a partir de ellos, conectando los puntos en pares. Si todos los vectores son perpendiculares a alguna dirección, entonces esta es una condición suficiente para que todos los puntos m pertenezcan al mismo plano.

Ecuación general

En geometría espacial, un plano se describe usando ecuaciones que generalmente contienen tres coordenadas desconocidas correspondientes a los ejes x, y y z. Paraobtener la ecuación general en coordenadas planas en el espacio, supongamos que existe un vector n¯(A; B; C) y un punto M(x₀; y₀; z_{0). Con estos dos objetos, el plano se puede definir de forma única.}

De hecho, supongamos que hay un segundo punto P(x; y; z) cuyas coordenadas se desconocen. De acuerdo con la definición dada anteriormente, el vector MP¯ debe ser perpendicular a n¯, es decir, el producto escalar para ellos es igual a cero. Entonces podemos escribir la siguiente expresión:

(n¯MP¯)=0 o

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Abriendo los paréntesis e introduciendo un nuevo coeficiente D, obtenemos la expresión:

Ax + By + Cz + D=0 donde D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Esta expresión se llama ecuación general del plano. Es importante recordar que los coeficientes delante de x, y y z forman las coordenadas del vector n¯(A; B; C) perpendicular al plano. Coincide con lo normal y es una guía para el avión. Para determinar la ecuación general, no importa hacia dónde se dirija este vector. Es decir, los planos construidos sobre los vectores n¯ y -n¯ serán iguales.

La figura de arriba muestra un plano, un vector normal a él y una línea perpendicular al plano.

Segmentos cortados por el plano en los ejes y la ecuación correspondiente

La ecuación general permite usar operaciones matemáticas simples para determinar, enen qué puntos el plano se cruzará con los ejes de coordenadas. Es importante conocer esta información para tener una idea de la posición en el espacio del avión, así como para representarlo en los dibujos.

Para determinar los puntos de intersección nombrados, se utiliza una ecuación en segmentos. Se llama así porque contiene explícitamente los valores de las longitudes de los segmentos cortados por el plano en los ejes de coordenadas, al contar desde el punto (0; 0; 0). Obtengamos esta ecuación.

Escribe la expresión general para el plano de la siguiente manera:

Ax + By + Cz=-D

Las partes izquierda y derecha se pueden dividir por -D sin violar la igualdad. Tenemos:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 o

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Diseña los denominadores de cada término con un nuevo símbolo, obtenemos:

p=-D/D; q=-D/B; r=-D/C entonces

x/p + y/q + z/r=1

Esta es la ecuación mencionada anteriormente en segmentos. De ello se deduce que el valor del denominador de cada término indica la coordenada de la intersección con el eje correspondiente del plano. Por ejemplo, se cruza con el eje y en el punto (0; q; 0). Esto es fácil de entender si sustituye las coordenadas cero x y z en la ecuación.

Tenga en cuenta que si no hay variable en la ecuación en los segmentos, esto significa que el plano no interseca el eje correspondiente. Por ejemplo, dada la expresión:

x/p + y/q=1

Esto significa que el plano cortará los segmentos p y q en los ejes x e y, respectivamente, pero será paralelo al eje z.

Conclusión sobre el comportamiento del avión cuandola ausencia de alguna variable en su ecuación también es cierta para una expresión de tipo general, como se muestra en la siguiente figura.

Ecuación paramétrica vectorial

Hay un tercer tipo de ecuación que permite describir un plano en el espacio. Se llama vector paramétrico porque está dado por dos vectores que se encuentran en el plano y dos parámetros que pueden tomar valores independientes arbitrarios. Vamos a mostrar cómo se puede obtener esta ecuación.

Suponga que hay un par de vectores conocidos u ¯(a₁; b₁; c₁) y v¯(a₂; b₂; c₂). Si no son paralelos, se pueden usar para establecer un plano específico fijando el comienzo de uno de estos vectores en un punto conocido M(x₀; y₀; z_{0). Si un vector arbitrario MP¯ se puede representar como una combinación de vectores lineales u¯ y v¯, entonces esto significa que el punto P(x; y; z) pertenece al mismo plano que u¯, v¯. Así, podemos escribir la igualdad:}

MP¯=αu¯ + βv¯

O escribiendo esta igualdad en términos de coordenadas, obtenemos:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; do₂₎

La igualdad presentada es una ecuación vectorial paramétrica para el plano. ENel espacio vectorial en el plano u¯ y v¯ se denominan generadores.

A continuación, al resolver el problema, se mostrará cómo se puede reducir esta ecuación a una forma general para un plano.

Ángulo entre planos en el espacio

Intuitivamente, los planos en el espacio 3D pueden intersecarse o no. En el primer caso, es de interés encontrar el ángulo entre ellos. El cálculo de este ángulo es más difícil que el del ángulo entre rectas, ya que estamos hablando de un objeto geométrico diedro. Sin embargo, el vector guía ya mencionado para el avión viene al rescate.

Se establece geométricamente que el ángulo diedro entre dos planos que se cortan es exactamente igual al ángulo entre sus vectores guía. Denotemos estos vectores como n₁¯(a₁; b₁; c_{1) y n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). El coseno del ángulo entre ellos se determina a partir del producto escalar. Es decir, el ángulo mismo en el espacio entre los planos se puede calcular mediante la fórmula:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Aquí el módulo en el denominador se usa para descartar el valor del ángulo obtuso (entre planos que se cortan siempre es menor o igual a 90o).

En forma de coordenadas, esta expresión se puede reescribir de la siguiente manera:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Planos perpendiculares y paralelos

Si los planos se cortan y el ángulo diedro que forman es 90o, entonces serán perpendiculares. Un ejemplo de tales planos es un prisma rectangular o un cubo. Estas figuras están formadas por seis planos. En cada vértice de las figuras nombradas hay tres planos perpendiculares entre sí.

Para saber si los planos considerados son perpendiculares, basta con calcular el producto escalar de sus vectores normales. Una condición suficiente para la perpendicularidad en el espacio de planos es el valor cero de este producto.

Los planos paralelos se llaman planos que no se cortan. A veces también se dice que los planos paralelos se cortan en el infinito. La condición de paralelismo en el espacio de los planos coincide con la condición de los vectores directores n₁¯ y n_{2¯. Puedes comprobarlo de dos formas:}

Calcula el coseno del ángulo diedro (cos(φ)) usando el producto escalar. Si los planos son paralelos, entonces el valor será 1.

Intente representar un vector a través de otro multiplicando por algún número, es decir, n₁¯=kn_{2¯. Si esto se puede hacer, entonces los planos correspondientes sonparalelo.}

La figura muestra dos planos paralelos.

Ahora vamos a dar ejemplos de cómo resolver dos problemas interesantes usando el conocimiento matemático obtenido.

¿Cómo obtener una forma general de una ecuación vectorial?

Esta es una expresión vectorial paramétrica para un plano. Para facilitar la comprensión del flujo de operaciones y los trucos matemáticos utilizados, considere un ejemplo específico:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Expande esta expresión y expresa los parámetros desconocidos:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Entonces:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Abriendo los paréntesis en la última expresión, obtenemos:

z=2x-2 + 3y - 6 o

2x + 3y - z - 8=0

Hemos obtenido la forma general de la ecuación para el plano especificado en el enunciado del problema en forma vectorial

¿Cómo construir un avión a través de tres puntos?

Es posible dibujar un solo plano a través de tres puntos si estos puntos no pertenecen a una sola línea recta. El algoritmo para resolver este problema consiste en la siguiente secuencia de acciones:

encontrar las coordenadas de dos vectores conectando puntos conocidos por pares;
calcular su producto vectorial y obtener un vector normal al plano;
escribe la ecuación general usando el vector encontrado ycualquiera de los tres puntos.

Tomemos un ejemplo concreto. Puntos otorgados: