Ángulos diedros de la pirámide y el método de su cálculo

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2024-01-02 17:45

Los parámetros lineales típicos de cualquier pirámide son las longitudes de los lados de su base, la altura, las aristas laterales y las apotemas. Sin embargo, hay otra característica asociada con los parámetros señalados: este es el ángulo diedro. Considera en el artículo qué es y cómo encontrarlo.

Pirámide de figura espacial

Todo estudiante tiene una buena idea de lo que está en juego cuando escucha la palabra "pirámide". Se puede construir geométricamente de la siguiente manera: seleccione un determinado polígono, luego fije un punto en el espacio y conéctelo a cada esquina del polígono. La figura tridimensional resultante será una pirámide de tipo arbitrario. El polígono que lo forma se llama base, y el punto al que se unen todos sus vértices es el vértice de la figura. La siguiente figura muestra esquemáticamente una pirámide pentagonal.

Se puede ver que su superficie está formada no solo por un pentágono, sino también por cinco triángulos. En general, el número de estos triángulos será igual al númerolados de una base poligonal.

Ángulos diedros de la figura

Cuando los problemas geométricos se consideran en un plano, cualquier ángulo está formado por dos líneas rectas o segmentos que se cruzan. En el espacio, a estos ángulos lineales, formados por la intersección de dos planos, se les suman los ángulos diedros.

Si la definición marcada de ángulo en el espacio se aplica a la figura en cuestión, entonces podemos decir que hay dos tipos de ángulos diédricos:

• En la base de la pirámide. Está formado por el plano de la base y cualquiera de las caras laterales (triángulo). Esto significa que los ángulos de la base de la pirámide son n, donde n es el número de lados del polígono.
• Entre los lados (triángulos). El número de estos ángulos diedros también es n piezas.

Tenga en cuenta que el primer tipo de ángulos considerados se construye en los bordes de la base, el segundo tipo, en los bordes laterales.

¿Cómo calcular los ángulos de una pirámide?

El ángulo lineal de un ángulo diedro es la medida de este último. No es fácil calcularlo, ya que las caras de la pirámide, a diferencia de las caras del prisma, no se cortan en ángulo recto en el caso general. Es más confiable calcular los valores de los ángulos diédricos usando las ecuaciones del plano en forma general.

En el espacio tridimensional, un plano viene dado por la siguiente expresión:

Ax + By + Cz + D=0

Donde A, B, C, D son algunos números reales. La conveniencia de esta ecuación es que los primeros tres números marcados son las coordenadas del vector,que es perpendicular al plano dado, es decir:

n¯=[A; B; C]

Si se conocen las coordenadas de tres puntos pertenecientes al plano, tomando el producto vectorial de dos vectores construidos sobre estos puntos, se pueden obtener las coordenadas n¯. El vector n¯ se llama guía del plano.

Según la definición, el ángulo diedro formado por la intersección de dos planos es igual al ángulo lineal entre sus vectores directores. Supongamos que tenemos dos planos cuyos vectores normales son iguales:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

Para calcular el ángulo φ entre ellos, puedes usar la propiedad del producto escalar, luego la fórmula correspondiente se convierte en:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

O en forma de coordenadas:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Veamos cómo usar el método anterior para calcular ángulos diédricos al resolver problemas geométricos.

Ángulos de una pirámide cuadrangular regular

Supón que hay una pirámide regular, en cuya base hay un cuadrado de 10 cm de lado. La altura de la figura es12 cm Hay que calcular cuales son los ángulos diedros en la base de la pirámide y por sus lados.

Dado que la figura dada en la condición del problema es correcta, es decir, tiene una alta simetría, entonces todos los ángulos en la base son iguales entre sí. Los ángulos formados por las caras laterales también son iguales. Para calcular los ángulos diedros requeridos, encontramos los vectores de dirección para la base y dos planos laterales. Indica la longitud del lado de la base con la letra a, y la altura h.

La imagen de arriba muestra una pirámide cuadrangular regular. Escribamos las coordenadas de los puntos A, B, C y D de acuerdo con el sistema de coordenadas ingresado:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Ahora encontramos los vectores directores para los planos base ABC y los dos lados ABD y BCD de acuerdo con el método descrito en el párrafo anterior:

Para ABC:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

Para ABD:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

Para BCD:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Ahora queda aplicar la fórmula adecuada para el ángulo φ y sustituir los valores de lado y altura del enunciado del problema:

Ángulo entre ABC yABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2 /4)))=67, 38^o

Ángulo entre ABD y BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a 2^{/4)))=81, 49}o

Calculamos los valores de los ángulos que se necesitaban encontrar por la condición del problema. Las fórmulas obtenidas al resolver el problema se pueden utilizar para determinar los ángulos diedros de pirámides regulares cuadrangulares con cualquier valor de a y h.

Ángulos de una pirámide regular triangular

La siguiente figura muestra una pirámide cuya base es un triángulo regular. Se sabe que el ángulo diedro entre los lados es recto. Es necesario calcular el área de la base si se sabe que la altura de la figura es de 15 cm.

Un ángulo diedro igual a 90^o se denota como ABC en la figura. Puede resolver el problema utilizando el método anterior, pero en este caso lo haremos más fácil. Denotemos el lado del triángulo a, la altura de la figura - h, el apotema - h_b y el ladocostilla - b. Ahora puedes escribir las siguientes fórmulas:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Como los dos triángulos laterales de la pirámide son iguales, los lados AB y CB son iguales y son los catetos del triángulo ABC. Denotemos su longitud por x, entonces:

x=a/√2;

S=1/2ba/√2

Equitando las áreas de los lados de los triángulos y sustituyendo la apotema en la expresión correspondiente, tenemos:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

h_b=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

b=a/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

a=h√6

El área de un triángulo equilátero se calcula de la siguiente manera:

S=√3/4a²=3√3/2h²

Sustituyendo el valor de altura de la condición del problema, obtenemos la respuesta: S=584, 567 cm².