En geometría, se utilizan dos características importantes para estudiar las figuras: las longitudes de los lados y los ángulos entre ellos. En el caso de las figuras espaciales, a estas características se añaden los ángulos diedros. Consideremos qué es y también describamos el método para determinar estos ángulos usando el ejemplo de una pirámide.
El concepto de ángulo diedro
Todo el mundo sabe que dos líneas que se cortan forman un ángulo con el vértice en el punto de su intersección. Este ángulo se puede medir con un transportador o puedes usar funciones trigonométricas para calcularlo. El ángulo formado por dos ángulos rectos se llama lineal.
Ahora imagina que en el espacio tridimensional hay dos planos que se cruzan en línea recta. Se muestran en la imagen.
Un ángulo diedro es el ángulo entre dos planos que se cortan. Al igual que lineal, se mide en grados o radianes. Si a cualquier punto de la línea a lo largo de la cual se cortan los planos, restablezca dos perpendiculares,acostado en estos planos, entonces el ángulo entre ellos será el diedro deseado. La forma más fácil de determinar este ángulo es usar las ecuaciones generales de los planos.
La ecuación de los planos y la fórmula del ángulo entre ellos
La ecuación de cualquier plano en el espacio en términos generales se escribe de la siguiente manera:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Aquí x, y, z son las coordenadas de los puntos pertenecientes al plano, los coeficientes A, B, C, D son algunos números conocidos. La conveniencia de esta igualdad para calcular ángulos diédricos es que contiene explícitamente las coordenadas del vector director del plano. Lo denotaremos por n¯. Entonces:
n¯=(A; B; C).
El vector n¯ es perpendicular al plano. El ángulo entre dos planos es igual al ángulo entre sus vectores directores n1¯ y n2¯. Se sabe por las matemáticas que el ángulo formado por dos vectores se determina únicamente a partir de su producto escalar. Esto le permite escribir una fórmula para calcular el ángulo diedro entre dos planos:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Si sustituimos las coordenadas de los vectores, la fórmula se escribirá explícitamente:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
El signo de módulo en el numerador se usa para definir solo un ángulo agudo, ya que un ángulo diedro siempre es menor o igual que 90o.
Pirámide y sus esquinas
La pirámide es una figura formada por un n-ágono y n triángulos. Aquí n es un número entero igual al número de lados del polígono que es la base de la pirámide. Esta figura espacial es un poliedro o poliedro, ya que consta de caras planas (lados).
Los ángulos diedros de una pirámide-poliedro pueden ser de dos tipos:
- entre base y lado (triángulo);
- entre dos lados.
Si la pirámide se considera regular, entonces es fácil determinar los ángulos nombrados para ella. Para hacer esto, usando las coordenadas de tres puntos conocidos, uno debe componer una ecuación de planos y luego usar la fórmula dada en el párrafo anterior para el ángulo φ.
A continuación damos un ejemplo en el que mostramos cómo encontrar ángulos diédricos en la base de una pirámide cuadrangular regular.
Una pirámide cuadrangular regular y un ángulo en su base
Suponga que se da una pirámide regular con base cuadrada. La longitud del lado del cuadrado es a, la altura de la figura es h. Encuentra el ángulo entre la base de la pirámide y su lado.
Coloquemos el origen del sistema de coordenadas en el centro del cuadrado. Entonces las coordenadas de los puntosA, B, C, D que se muestran en la imagen serán:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Considere los planos ACB y ADB. Obviamente, el vector director n1¯ para el plano ACB será:
1¯=(0; 0; 1).
Para determinar el vector director n2¯ del plano ADB, proceda de la siguiente manera: encuentre dos vectores arbitrarios que le pertenezcan, por ejemplo, AD¯ y AB¯, luego calcule su trabajo vectorial. Su resultado dará las coordenadas n2¯. Tenemos:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Como la multiplicación y división de un vector por un número no cambia su dirección, transformamos el resultado n2¯, dividiendo sus coordenadas por -a, obtenemos:
2¯=(h; 0; a/2).
Hemos definido guías vectoriales n1¯ y n2¯ para la base ACB y los planos laterales ADB. Queda por usar la fórmula para el ángulo φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Transforma la expresión resultante y reescríbela así:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Hemos obtenido la fórmula del ángulo diedro en la base de una pirámide cuadrangular regular. Conociendo la altura de la figura y la longitud de su lado, puedes calcular el ángulo φ. Por ejemplo, para la pirámide de Keops, cuyo lado de la base es de 230,4 metros y la altura inicial de 146,5 metros, el ángulo φ será de 51,8o.
También es posible determinar el ángulo diedro de una pirámide cuadrangular regular utilizando el método geométrico. Para ello, basta considerar un triángulo rectángulo formado por la altura h, la mitad de la longitud de la base a/2 y la apotema de un triángulo isósceles.
