Pirámide es un poliedro espacial, o poliedro, que se presenta en problemas geométricos. Las principales propiedades de esta figura son su volumen y su superficie, que se calculan a partir del conocimiento de dos cualesquiera de sus características lineales. Una de estas características es la apotema de la pirámide. Se discutirá en el artículo.
Forma de pirámide
Antes de dar la definición de la apotema de la pirámide, familiaricémonos con la figura en sí. La pirámide es un poliedro, que está formado por una base n-gonal y n triángulos que forman la superficie lateral de la figura.
Cada pirámide tiene un vértice: el punto de conexión de todos los triángulos. La perpendicular trazada desde este vértice a la base se llama altura. Si la altura corta a la base en el centro geométrico, entonces la figura se llama línea recta. Una pirámide recta con una base equilátera se llama pirámide regular. La figura muestra una pirámide con base hexagonal, que se ve desde el lado de la cara y el borde.
Apotema de la pirámide derecha
También se la llama apotema. Se entiende como una perpendicular trazada desde la parte superior de la pirámide al lado de la base de la figura. Por definición, esta perpendicular corresponde a la altura del triángulo que forma la cara lateral de la pirámide.
Como estamos considerando una pirámide regular con una base n-gonal, entonces todas las n apotemas para ella serán iguales, ya que tales son los triángulos isósceles de la superficie lateral de la figura. Tenga en cuenta que las apotemas idénticas son una propiedad de una pirámide regular. Para una figura de tipo general (oblicua con un n-ágono irregular), todas las n apotemas serán diferentes.
Otra propiedad de una apotema de pirámide regular es que es simultáneamente la altura, la mediana y la bisectriz del triángulo correspondiente. Esto significa que lo divide en dos triángulos rectángulos idénticos.
Pirámide triangular y fórmulas para determinar su apotema
En cualquier pirámide regular, las características lineales importantes son la longitud del lado de su base, la arista lateral b, la altura hy la apotema hb. Estas cantidades están relacionadas entre sí por las fórmulas correspondientes, que se pueden obtener dibujando una pirámide y considerando los triángulos rectángulos necesarios.
Una pirámide triangular regular consta de 4 caras triangulares, y una de ellas (la base) debe ser equilátera. El resto son isósceles en el caso general. apotemaLa pirámide triangular se puede determinar en términos de otras cantidades usando las siguientes fórmulas:
hb=√(b2-a2/4);
hb=√(a2/12 + h2)
La primera de estas expresiones es válida para una pirámide con cualquier base correcta. La segunda expresión es característica solo para una pirámide triangular. Muestra que la apotema es siempre mayor que la altura de la figura.
No confundas la apotema de una pirámide con la de un poliedro. En este último caso, la apotema es un segmento perpendicular dibujado al lado del poliedro desde su centro. Por ejemplo, la apotema de un triángulo equilátero es √3/6a.
Tarea de apotema
Sea dada una pirámide regular con un triángulo en la base. Es necesario calcular su apotema si se sabe que el área de este triángulo es de 34 cm2, y la pirámide en sí consta de 4 caras idénticas.
De acuerdo con la condición del problema, estamos tratando con un tetraedro formado por triángulos equiláteros. La fórmula para el área de una cara es:
S=√3/4a2
Donde obtenemos la longitud del lado a:
a=2√(S/√3)
Para determinar la apotema hbusamos la fórmula que contiene la arista lateral b. En el caso considerado, su longitud es igual a la longitud de la base, tenemos:
hb=√(b2- a2/4)=√3/2 a
Sustituyendo el valor de a por S,obtenemos la formula final:
hb=√3/22√(S/√3)=√(S√3)
Obtuvimos una fórmula simple en la que la apotema de una pirámide depende únicamente del área de su base. Si sustituimos el valor S de la condición del problema, obtenemos la respuesta: hb≈ 7, 674 cm.
