El área de la superficie lateral de una pirámide cuadrangular regular: fórmulas y ejemplos de problemas

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2024-01-02 17:45

Los problemas geométricos típicos en el plano y en el espacio tridimensional son los problemas para determinar las áreas superficiales de diferentes formas. En este artículo presentamos la fórmula del área de la superficie lateral de una pirámide cuadrangular regular.

¿Qué es una pirámide?

Vamos a dar una definición geométrica estricta de una pirámide. Supongamos que hay un polígono con n lados y n esquinas. Elegimos un punto arbitrario en el espacio que no estará en el plano del n-ágono especificado y lo conectamos a cada vértice del polígono. Obtendremos una figura que tiene algo de volumen, que se llama pirámide n-gonal. Por ejemplo, mostremos en la siguiente figura cómo se ve una pirámide pentagonal.

Dos elementos importantes de cualquier pirámide son su base (n-ágono) y su parte superior. Estos elementos están conectados entre sí por n triángulos, que en general no son iguales entre sí. Perpendicular caído desdede arriba hacia abajo se llama la altura de la figura. Si se cruza con la base en el centro geométrico (coincide con el centro de masa del polígono), entonces dicha pirámide se llama línea recta. Si además de esta condición la base es un polígono regular, entonces toda la pirámide se llama regular. La siguiente figura muestra cómo se ven las pirámides regulares con bases triangulares, cuadrangulares, pentagonales y hexagonales.

Superficie piramidal

Antes de pasar a la cuestión del área de la superficie lateral de una pirámide cuadrangular regular, debemos detenernos en el concepto de la superficie en sí.

Como se mencionó anteriormente y se muestra en las figuras, cualquier pirámide está formada por un conjunto de caras o lados. Un lado es la base y n lados son triángulos. La superficie de toda la figura es la suma de las áreas de cada uno de sus lados.

Es conveniente estudiar la superficie en el ejemplo de una figura que se despliega. En las siguientes figuras se muestra un escaneo de una pirámide cuadrangular regular.

Vemos que su superficie es igual a la suma de cuatro áreas de triángulos isósceles idénticos y el área de un cuadrado.

El área total de todos los triángulos que forman los lados de la figura se llama área de la superficie lateral. A continuación, mostraremos cómo calcularlo para una pirámide cuadrangular regular.

El área de la superficie lateral de una pirámide cuadrangular regular

Para calcular el área del lateralsuperficie de la figura especificada, volvemos a pasar al escaneo anterior. Supongamos que conocemos el lado de la base cuadrada. Lo denotaremos con el símbolo a. Se puede ver que cada uno de los cuatro triángulos idénticos tiene una base de longitud a. Para calcular su área total, necesita saber este valor para un triángulo. Se sabe por el curso de geometría que el área de un triángulo S_{t es igual al producto de la base y la altura, que debe dividirse por la mitad. Es decir:}

S_t=1/2h_ba.

Donde h_b es la altura de un triángulo isósceles dibujado hasta la base a. Para una pirámide, esta altura es la apotema. Ahora resta multiplicar la expresión resultante por 4 para obtener el área S_{bde la superficie lateral de la pirámide en cuestión:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Esta fórmula contiene dos parámetros: la apotema y el lado de la base. Si este último se conoce en la mayoría de las condiciones de los problemas, entonces el primero debe calcularse conociendo otras cantidades. Estas son las fórmulas para calcular el apotema h_{b para dos casos:}

• cuando se conoce la longitud de la costilla lateral;
• cuando se conoce la altura de la pirámide.

Si denotamos la longitud del borde lateral (el lado de un triángulo isósceles) con el símbolo L, entonces el apotema h_{b está determinado por la fórmula:}

h_b=√(L² -a^2/4).

Esta expresión es el resultado de aplicar el teorema de Pitágoras para el triángulo de superficie lateral.

Si se conocela altura h de la pirámide, entonces el apotema h_{b se puede calcular de la siguiente manera:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Obtener esta expresión tampoco es difícil si consideramos dentro de la pirámide un triángulo rectángulo formado por los catetos h y a/2 y la hipotenusa h_b.

Veamos cómo aplicar estas fórmulas resolviendo dos problemas interesantes.

Problema con superficie conocida

Se sabe que la superficie lateral de una pirámide cuadrangular regular es de 108 cm². Es necesario calcular el valor de la longitud de su apotema h_{b, si la altura de la pirámide es de 7 cm.}

Escribamos la fórmula para el área S_{bde la superficie lateral a través de la altura. Tenemos:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Aquí acabamos de sustituir la fórmula del apotema correspondiente en la expresión de S_{b. Elevemos al cuadrado ambos lados de la ecuación:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Para encontrar el valor de a, hagamos un cambio de variable:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Sustituimos ahora los valores conocidos y resolvemos la ecuación cuadrática:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Escribimos solo la raíz positiva de esta ecuación. Entonces los lados de la base de la pirámide serán:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Para obtener la longitud del apotema,simplemente usa la fórmula:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 ver}

Superficie lateral de la pirámide de Keops

Determina el valor del área de la superficie lateral de la pirámide egipcia más grande. Se sabe que en su base se encuentra un cuadrado con una longitud de lado de 230,363 metros. La altura de la estructura era originalmente de 146,5 metros. Sustituye estos números en la fórmula correspondiente para S_{b, obtenemos:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

El valor encontrado es ligeramente mayor que el área de 17 campos de fútbol.