Al estudiar absolutamente cualquier figura espacial, es importante saber calcular su volumen. Este artículo proporciona una fórmula para el volumen de una pirámide cuadrangular regular y también muestra cómo se debe usar esta fórmula usando un ejemplo de resolución de problemas.
¿De qué pirámide estamos hablando?
Todo estudiante de secundaria sabe que una pirámide es un poliedro que consta de triángulos y un polígono. Este último es la base de la figura. Los triángulos tienen un lado común con la base y se cortan en un solo punto, que es la parte superior de la pirámide.
Cada pirámide se caracteriza por la longitud de los lados de la base, la longitud de las aristas laterales y la altura. Este último es un segmento perpendicular, bajado a la base desde la parte superior de la figura.
Una pirámide cuadrangular regular es una figura de base cuadrada, cuya altura corta a este cuadrado en su centro. Quizás el ejemplo más famoso de este tipo de pirámides son las estructuras de piedra del antiguo Egipto. A continuación se muestra una fotopirámides de Keops.
La figura en estudio tiene cinco caras, cuatro de las cuales son triángulos isósceles idénticos. También se caracteriza por cinco vértices, cuatro de los cuales pertenecen a la base, y ocho aristas (4 aristas de la base y 4 aristas de las caras laterales).
La fórmula del volumen de una pirámide cuadrangular es correcta
El volumen de la figura en cuestión es una parte del espacio que está limitada por cinco lados. Para calcular este volumen, usamos la siguiente dependencia del área de un corte paralelo a la base de la pirámide Sz en la coordenada vertical z:
Sz=So (h - z/h)2
Aquí So es el área de la base cuadrada. Si sustituimos z=h en la expresión escrita, obtendremos un valor cero para Sz. Este valor de z corresponde a una rebanada que contendrá solo la parte superior de la pirámide. Si z=0, obtenemos el valor del área base So.
Es fácil encontrar el volumen de una pirámide si conoces la función Sz(z), para ello basta con dividir la figura en un número infinito de capas paralelas a la base, y luego llevar a cabo la operación de integración. Si sigo esta técnica, obtenemos:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Porque S0 esel área de la base cuadrada, luego, denotando el lado del cuadrado con la letra a, obtenemos la fórmula para el volumen de una pirámide cuadrangular regular:
V=1/3a2h.
Ahora usemos ejemplos de resolución de problemas para mostrar cómo se debe aplicar esta expresión.
El problema de determinar el volumen de una pirámide a través de su apotema y arista lateral
La apotema de una pirámide es la altura de su triángulo lateral, que se baja al lado de la base. Como todos los triángulos son iguales en una pirámide regular, sus apotemas también serán iguales. Denotemos su longitud con el símbolo hb. Denote el borde lateral como b.
Sabiendo que la apotema de la pirámide mide 12 cm y su arista lateral mide 15 cm, encuentra el volumen de una pirámide cuadrangular regular.
La fórmula del volumen de la figura escrita en el párrafo anterior contiene dos parámetros: la longitud del lado a y la altura h. Por el momento, no conocemos a ninguno de ellos, así que echemos un vistazo a sus cálculos.
La longitud del lado de un cuadrado a es fácil de calcular si usas el teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo, en el que la hipotenusa es la arista b, y los catetos son la apotema h b y la mitad del lado de la base a/2. Obtenemos:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Sustituyendo los valores conocidos de la condición, obtenemos el valor a=18 cm.
Para calcular la altura h de la pirámide, puedes hacer dos cosas: considera un rectánguloun triángulo con una hipotenusa-arista lateral o con una hipotenusa-apotema. Ambos métodos son iguales e implican la realización del mismo número de operaciones matemáticas. Detengámonos en la consideración de un triángulo, donde la hipotenusa es la apotema hb. Las piernas en él serán h y a / 2. Entonces obtenemos:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 cm.
Ahora puedes usar la fórmula para el volumen V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Así, el volumen de una pirámide cuadrangular regular es de aproximadamente 0,86 litros.
El volumen de la pirámide de Keops
Ahora resolvamos un problema interesante y prácticamente importante: encuentre el volumen de la pirámide más grande de Giza. Se sabe por la literatura que la altura original del edificio era de 146,5 metros, y la longitud de su base es de 230,363 metros. Estos números nos permiten aplicar la fórmula para calcular V. Obtenemos:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
El valor resultante es de casi 2,6 millones de m3. Este volumen corresponde al volumen de un cubo cuyo lado es de 137,4 metros.
