Al considerar figuras en el espacio, a menudo surgen problemas para determinar su área de superficie. Una de esas figuras es el cono. Considere en el artículo cuál es la superficie lateral de un cono con una base redonda, así como un cono truncado.
Cono con base redonda
Antes de proceder a la consideración de la superficie lateral del cono, mostraremos qué tipo de figura es y cómo obtenerla por métodos geométricos.
Toma un triángulo rectángulo ABC, donde AB y AC son catetos. Pongamos este triángulo en el cateto AC y rotémoslo alrededor del cateto AB. Como resultado, los lados AC y BC describen dos superficies de la figura que se muestra a continuación.
La figura obtenida por rotación se llama cono recto redondo. Es redondo porque su base es un círculo, y recto porque una perpendicular trazada desde la parte superior de la figura (punto B) corta al círculo en su centro. La longitud de esta perpendicular se llama altura. Obviamente, es igual al cateto AB. La altura generalmente se denota con la letra h.
Además de la altura, el cono considerado está descrito por otras dos características lineales:
- generadora o generatriz (hipotenusa BC);
- radio base (cateto AC).
El radio se denotará con la letra r, y la matriz generadora con g. Entonces, teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, podemos escribir la igualdad importante para la figura en consideración:
g2=h2+ r2
Superficie cónica
La totalidad de todas las generatrices forma una superficie cónica o lateral de un cono. En apariencia, es difícil saber a qué figura plana corresponde. Es importante saber esto último al determinar el área de una superficie cónica. Para resolver este problema se utiliza el método de barrido. Consiste en lo siguiente: se corta mentalmente una superficie a lo largo de una generatriz arbitraria, y luego se despliega sobre un plano. Con este método de obtener un barrido, se forma la siguiente figura plana.
Como puedes adivinar, el círculo corresponde a la base, pero el sector circular es una superficie cónica, cuyo área nos interesa. El sector está delimitado por dos generatrices y un arco. La longitud de este último es exactamente igual al perímetro (longitud) de la circunferencia de la base. Estas características determinan de manera única todas las propiedades del sector circular. No daremos cálculos matemáticos intermedios, sino que escribiremos inmediatamente la fórmula final, con la que puede calcular el área de la superficie lateral del cono. La fórmula es:
Sb=pigr
El área de una superficie cónica Sbes igual al producto de dos parámetros y Pi.
Cono truncado y su superficie
Si tomamos un cono ordinario y cortamos su parte superior con un plano paralelo, la figura restante será un cono truncado. Su superficie lateral está limitada por dos bases redondas. Denotemos sus radios como R y r. Denotamos la altura de la figura por h, y la generatriz por g. A continuación se muestra un recorte de papel para esta figura.
Se puede ver que la superficie lateral ya no es un sector circular, es más pequeña en área, ya que la parte central fue cortada de ella. El desarrollo se limita a cuatro líneas, dos de ellas son segmentos-generadores de línea recta, las otras dos son arcos con las longitudes de los círculos correspondientes a las bases del cono truncado.
Superficie lateral Sbcalculado de la siguiente manera:
Sb=pig(r + R)
Generatriz, radios y altura están relacionados por la siguiente igualdad:
g2=h2+ (R - r)2
El problema de la igualdad de las áreas de las figuras
Dado un cono con una altura de 20 cm y un radio de base de 8 cm, es necesario encontrar la altura de un cono truncado cuya superficie lateral tendrá la misma área que este cono. La figura truncada está construida sobre la misma base, y el radio de la base superior es de 3 cm.
Antes que nada, escribamos la condición de igualdad de las áreas del cono y la figura truncada. Tenemos:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Ahora escribamos las expresiones para las generatrices de cada figura:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Sustituir g1 y g2 en la fórmula para áreas iguales y elevar al cuadrado los lados izquierdo y derecho, obtenemos:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + D)2
Donde obtenemos la expresión para h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
No simplificaremos esta igualdad, simplemente sustituiremos los datos conocidos de la condición:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 cm
Así, para igualar las áreas de las superficies laterales de las figuras, el cono truncado debe tener los parámetros: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85cm
