El área de un cono truncado. Fórmula y ejemplo de problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 05:23

Las figuras de revolución en geometría reciben especial atención al estudiar sus características y propiedades. Uno de ellos es un cono truncado. Este artículo tiene como objetivo responder a la pregunta de qué fórmula se puede utilizar para calcular el área de un cono truncado.

¿De qué figura estamos hablando?

Antes de describir el área de un cono truncado, es necesario dar una definición geométrica exacta de esta figura. Truncado es un cono de este tipo, que se obtiene como resultado de cortar el vértice de un cono ordinario por un plano. En esta definición hay que subrayar una serie de matices. Primero, el plano de la sección debe ser paralelo al plano de la base del cono. En segundo lugar, la figura original debe ser un cono circular. Por supuesto, puede ser una figura elíptica, hiperbólica y de otro tipo, pero en este artículo nos limitaremos a considerar solo un cono circular. Este último se muestra en la siguiente figura.

Es fácil adivinar que se puede obtener no solo con la ayuda de una sección por un plano, sino también con la ayuda de una operación de rotación. ParaPara hacer esto, necesitas tomar un trapezoide que tenga dos ángulos rectos y rotarlo alrededor del lado adyacente a estos ángulos rectos. Como resultado, las bases del trapezoide se convertirán en los radios de las bases del cono truncado, y el lado inclinado lateral del trapezoide describirá la superficie cónica.

Desarrollo de la forma

Considerando el área de la superficie de un cono truncado, es útil traer su desarrollo, es decir, la imagen de la superficie de una figura tridimensional en un plano. A continuación se muestra un escaneo de la figura estudiada con parámetros arbitrarios.

Se puede observar que el área de la figura está formada por tres componentes: dos circunferencias y un segmento circular truncado. Obviamente, para determinar el área requerida, es necesario sumar las áreas de todas las figuras nombradas. Resolvamos este problema en el siguiente párrafo.

Área de cono truncado

Para facilitar la comprensión del siguiente razonamiento, introducimos la siguiente notación:

• r1, r2 - radios de las bases grande y pequeña respectivamente;
• h - altura de la figura;
• g - generatriz del cono (la longitud del lado oblicuo del trapezoide).

El área de las bases de un cono truncado es fácil de calcular. Escribamos las expresiones correspondientes:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

El área de una parte de un segmento circular es algo más difícil de determinar. Si imaginamos que el centro de este sector circular no está recortado, entonces su radio será igual al valor G. No es difícil calcularlo si consideramos el correspondientetriángulos cónicos rectángulos similares. Es igual a:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Entonces el área de todo el sector circular, que se construye sobre el radio G y que depende de un arco de longitud 2pir₁, será igual a:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Ahora determinemos el área del pequeño sector circular S₂, que deberá restarse de S₁. Es igual a:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

El área de la superficie troncocónica S_bes igual a la diferencia entre S₁ y S ₂. Obtenemos:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

A pesar de algunos cálculos engorrosos, obtuvimos una expresión bastante simple para el área de la superficie lateral de la figura.

Sumando las áreas de las bases y S_b, llegamos a la fórmula del área de un cono truncado:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

Así, para calcular el valor de S de la figura estudiada, es necesario conocer sus tres parámetros lineales.

Problema de ejemplo

Cono recto circularcon un radio de 10 cm y una altura de 15 cm fue cortado por un plano para obtener un cono truncado regular. Sabiendo que la distancia entre las bases de la figura truncada es de 10 cm, es necesario encontrar su área superficial.

Para usar la fórmula del área de un cono truncado, necesitas encontrar tres de sus parámetros. Uno que conocemos:

r₁=10 cm.

Los otros dos son fáciles de calcular si consideramos triángulos rectángulos semejantes, que se obtienen como resultado de la sección axial del cono. Teniendo en cuenta la condición del problema, obtenemos:

r₂=105/15=3,33 cm.

Finalmente, la guía del cono truncado g será:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12,02 cm.

Ahora puede sustituir los valores r₁, r₂ y g en la fórmula para S:

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 cm} 2.

La superficie deseada de la figura es de aproximadamente 852 cm².