Una de las figuras que se presenta al resolver problemas geométricos en el espacio es un cono. A diferencia de los poliedros, pertenece a la clase de figuras de rotación. Consideremos en el artículo qué significa en geometría y exploremos las características de varias secciones del cono.
Cono en geometría
Supongamos que hay una curva en el plano. Puede ser una parábola, un círculo, una elipse, etc. Tome un punto que no pertenezca al plano especificado y conecte todos los puntos de la curva a él. La superficie resultante se llama cono o simplemente cono.
Si la curva original es cerrada, entonces la superficie cónica se puede llenar con materia. La figura así obtenida es un cuerpo tridimensional. También se le llama cono. A continuación se muestran varios conos de papel.
La superficie cónica se encuentra en la vida cotidiana. Por ejemplo, un cono de helado o un cono de tráfico rayado tiene esta forma, que está diseñada para llamar la atención de los conductores ypeatones.
Tipos de conos
Como puede suponer, las figuras bajo consideración difieren entre sí por el tipo de curva en la que se forman. Por ejemplo, hay un cono redondo o elíptico. Esta curva se llama la base de la figura. Sin embargo, la forma de la base no es la única característica que permite clasificar los conos.
La segunda característica importante es la posición de la altura con respecto a la base. La altura de un cono es un segmento de línea recta, que desciende desde la parte superior de la figura hasta el plano de la base y es perpendicular a este plano. Si la altura corta la base en el centro geométrico (por ejemplo, en el centro del círculo), entonces el cono será recto, si el segmento perpendicular cae a cualquier otro punto de la base o más allá, entonces la figura será oblicuo.
Más adelante en el artículo consideraremos solo un cono recto redondo como un representante brillante de la clase de figuras considerada.
Nombres geométricos de elementos cónicos
Se dijo arriba que el cono tiene una base. Está delimitado por un círculo, que se llama la guía del cono. Los segmentos que conectan la guía a un punto que no se encuentra en el plano de la base se denominan generadores. El conjunto de todos los puntos de los generadores se denomina superficie cónica o lateral de la figura. Para un cono recto redondo, todos los generadores tienen la misma longitud.
El punto donde se cruzan los generadores se llama la parte superior de la figura. A diferencia de los poliedros, un cono tiene un solo vértice y noborde.
Una línea recta que pasa por la parte superior de la figura y el centro del círculo se llama eje. El eje contiene la altura de un cono recto, por lo que forma un ángulo recto con el plano de la base. Esta información es importante a la hora de calcular el área de la sección axial del cono.
Cono recto redondo - figura de rotación
El cono considerado es una figura bastante simétrica, que se puede obtener como resultado de la rotación del triángulo. Supongamos que tenemos un triángulo con un ángulo recto. Para obtener un cono, basta con girar este triángulo alrededor de una de las patas como se muestra en la figura a continuación.
Se puede ver que el eje de rotación es el eje del cono. Una de las piernas será igual a la altura de la figura, y la segunda pierna se convertirá en el radio de la base. La hipotenusa de un triángulo como resultado de la rotación describirá una superficie cónica. Será la generatriz del cono.
Este método de obtención de un cono recto redondo es conveniente para estudiar la relación matemática entre los parámetros lineales de la figura: la altura h, el radio de la base redonda r y la guía g. La fórmula correspondiente se sigue de las propiedades de un triángulo rectángulo. Se enumera a continuación:
g2=h2+ r2.
Dado que tenemos una ecuación y tres variables, esto significa que para establecer de forma única los parámetros de un cono redondo, necesita saber dos cantidades cualesquiera.
Secciones de un cono por un plano que no contiene el vértice de la figura
La cuestión de construir secciones de una figura no estrivial. El hecho es que la forma de la sección del cono por la superficie depende de la posición relativa de la figura y la secante.
Supongamos que intersecamos el cono con un plano. ¿Cuál será el resultado de esta operación geométrica? Las opciones de forma de sección se muestran en la siguiente figura.
La sección rosa es un círculo. Se forma como resultado de la intersección de la figura con un plano paralelo a la base del cono. Son secciones perpendiculares al eje de la figura. La figura formada sobre el plano de corte es un cono similar al original, pero con un círculo más pequeño en la base.
La sección verde es una elipse. Se obtiene si el plano de corte no es paralelo a la base, sino que solo corta la superficie lateral del cono. Una figura recortada sobre el plano se llama cono oblicuo elíptico.
Las secciones azul y naranja son parabólicas e hiperbólicas, respectivamente. Como puede ver en la figura, se obtienen si el plano de corte corta simultáneamente la superficie lateral y la base de la figura.
Para determinar las áreas de las secciones del cono que se consideraron, es necesario utilizar las fórmulas de la figura correspondiente en el plano. Por ejemplo, para un círculo, este es el número Pi multiplicado por el cuadrado del radio, y para una elipse, este es el producto de Pi y la longitud de los semiejes menor y mayor:
círculo: S=pir2;
elipse: S=piab.
Secciones que contienen la parte superior del cono
Ahora considere las opciones para las secciones que surgen si el plano de corte espasar por la parte superior del cono. Son posibles tres casos:
- La sección es un solo punto. Por ejemplo, un plano que pasa por el vértice y es paralelo a la base da exactamente esa sección.
- La sección es una línea recta. Esta situación se da cuando el plano es tangente a una superficie cónica. La recta de la sección en este caso será la generatriz del cono.
- Sección axial. Se forma cuando el plano contiene no solo la parte superior de la figura, sino también todo su eje. En este caso, el plano será perpendicular a la base redonda y dividirá el cono en dos partes iguales.
Obviamente, las áreas de los dos primeros tipos de secciones son iguales a cero. En cuanto al área de la sección transversal del cono para el tercer tipo, este tema se analiza con más detalle en el siguiente párrafo.
Sección axial
Se señaló anteriormente que la sección axial de un cono es la figura formada cuando el cono es intersecado por un plano que pasa por su eje. Es fácil adivinar que esta sección representará la figura que se muestra en la siguiente figura.
Este es un triángulo isósceles. El vértice de la sección axial del cono es el vértice de este triángulo, formado por la intersección de lados idénticos. Estos últimos son iguales a la longitud de la generatriz del cono. La base del triángulo es el diámetro de la base del cono.
Calcular el área de la sección axial de un cono se reduce a encontrar el área del triángulo resultante. Si inicialmente se conocen el radio de la base r y la altura h del cono, entonces el área S de la sección considerada será:
S=hr.
Estola expresión es consecuencia de aplicar la fórmula estándar para el área de un triángulo (la mitad del producto de la altura por la base).
Tenga en cuenta que si la generatriz de un cono es igual al diámetro de su base redonda, entonces la sección axial del cono es un triángulo equilátero.
Una sección triangular se forma cuando el plano de corte es perpendicular a la base del cono y pasa por su eje. Cualquier otro plano paralelo al mencionado dará una hipérbola en sección. Sin embargo, si el plano contiene el vértice del cono y no corta su base a través del diámetro, entonces la sección resultante también será un triángulo isósceles.
El problema de determinar los parámetros lineales del cono
Vamos a mostrar cómo usar la fórmula escrita para el área de la sección axial para resolver un problema geométrico.
Se sabe que el área de la sección axial del cono es de 100 cm2. El triángulo resultante es equilátero. ¿Cuál es la altura del cono y el radio de su base?
Dado que el triángulo es equilátero, su altura h está relacionada con la longitud del lado a de la siguiente manera:
h=√3/2a.
Dado que el lado del triángulo es el doble del radio de la base del cono, y sustituyendo esta expresión en la fórmula del área de la sección transversal, obtenemos:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Entonces la altura del cono es:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Queda por sustituir el valor del área por la condición del problemay obtén la respuesta:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
¿En qué áreas es importante conocer los parámetros de las secciones consideradas?
El estudio de varios tipos de secciones de cono no solo tiene interés teórico, sino que también tiene aplicaciones prácticas.
Primero, cabe señalar el área de la aerodinámica, donde con la ayuda de secciones cónicas es posible crear formas suaves ideales de cuerpos sólidos.
En segundo lugar, las secciones cónicas son trayectorias a lo largo de las cuales los objetos espaciales se mueven en campos gravitatorios. El tipo específico de sección que representa la trayectoria del movimiento de los cuerpos cósmicos del sistema está determinado por la relación de sus masas, velocidades absolutas y distancias entre ellos.
