La geometría es una rama de las matemáticas que estudia las estructuras en el espacio y la relación entre ellas. A su vez, también consta de secciones, y una de ellas es la estereometría. Prevé el estudio de las propiedades de las figuras volumétricas situadas en el espacio: un cubo, una pirámide, una bola, un cono, un cilindro, etc.
Un cono es un cuerpo en el espacio euclidiano que limita una superficie cónica y un plano en el que se encuentran los extremos de sus generadores. Su formación se da en el proceso de rotación de un triángulo rectángulo alrededor de cualquiera de sus catetos, por lo tanto pertenece a los cuerpos de revolución.
Componentes del cono
Se distinguen los siguientes tipos de conos: oblicuos (u oblicuos) y rectos. Oblicuo es aquel cuyo eje no forma un ángulo recto con el centro de su base. Por ello, la altura en tal cono no coincide con el eje, ya que es un segmento que desciende desde la parte superior del cuerpo hasta su plano.base a 90°.
Ese cono, cuyo eje es perpendicular a su base, se llama cono recto. El eje y la altura en un cuerpo geométrico de este tipo coinciden debido al hecho de que el vértice está ubicado sobre el centro del diámetro de la base.
El cono consta de los siguientes elementos:
- El círculo que es su base.
- Lado.
- Un punto que no está en el plano de la base, llamado vértice del cono.
- Segmentos que unen los puntos de la circunferencia de la base del cuerpo geométrico y su vértice.
Todos estos segmentos son generatrices del cono. Están inclinados a la base del cuerpo geométrico, y en el caso de un cono recto sus proyecciones son iguales, ya que el vértice es equidistante de los puntos del círculo base. Así, podemos concluir que en un cono regular (recto), los generadores son iguales, es decir, tienen la misma longitud y forman los mismos ángulos con el eje (o altura) y la base.
Dado que en un cuerpo de revolución oblicuo (o inclinado) el vértice está desplazado con respecto al centro del plano base, los generadores en tal cuerpo tienen diferentes longitudes y proyecciones, ya que cada uno de ellos está a una distancia diferente desde dos puntos cualesquiera del círculo base. Además, los ángulos entre ellos y la altura del cono también serán diferentes.
La longitud de los generadores en un cono recto
Como se escribió anteriormente, la altura en un cuerpo geométrico recto de revolución es perpendicular al plano de la base. Así, la generatriz, la altura y el radio de la base crean un triángulo rectángulo en el cono.
Es decir, conociendo el radio de la base y la altura, usando la fórmula del teorema de Pitágoras, puedes calcular la longitud de la generatriz, que será igual a la suma de los cuadrados del radio de la base y altura:
l2 =r2+ h2 o l=√r 2 + h2
donde l es una generatriz;
r – radio;
h – altura.
Generativo en un cono oblicuo
Basado en el hecho de que en un cono oblicuo u oblicuo los generadores no tienen la misma longitud, no será posible calcularlos sin construcciones y cálculos adicionales.
Primero que nada, necesitas saber la altura, la longitud del eje y el radio de la base.
Con estos datos, puedes calcular la parte del radio que se encuentra entre el eje y la altura, utilizando la fórmula del teorema de Pitágoras:
r1=√k2 -h2
donde r1 es la parte del radio entre el eje y la altura;
k – longitud del eje;
h – altura.
Como resultado de sumar el radio (r) y su parte que se encuentra entre el eje y la altura (r1), puedes encontrar el lado completo de la derecha triángulo formado por la generatriz del cono, su altura y diámetro parte:
R=r + r1
donde R es el cateto del triángulo formado por la altura, la generatriz y parte del diámetro de la base;
r – radio base;
r1 – parte del radio entre el eje y la altura.
Usando la misma fórmula del teorema de Pitágoras, puedes encontrar la longitud de la generatriz del cono:
l=√h2+ R2
o, sin calcular R por separado, combine las dos fórmulas en una sola:
l=√h2 + (r + r1)2.
A pesar de si es un cono recto u oblicuo y qué tipo de datos de entrada, todos los métodos para encontrar la longitud de la generatriz siempre se reducen a un resultado: el uso del teorema de Pitágoras.
Sección de cono
La sección axial de un cono es un plano que pasa por su eje o altura. En un cono recto, tal sección es un triángulo isósceles, en el que la altura del triángulo es la altura del cuerpo, sus lados son los generadores y la base es el diámetro de la base. En un cuerpo geométrico equilátero, la sección axial es un triángulo equilátero, ya que en este cono el diámetro de la base y los generadores son iguales.
El plano de la sección axial en un cono recto es el plano de su simetría. La razón de esto es que su parte superior está por encima del centro de su base, es decir, el plano de la sección axial divide el cono en dos partes idénticas.
Como la altura y el eje no coinciden en un sólido inclinado, el plano de la sección axial puede no incluir la altura. Si es posible construir un conjunto de secciones axiales en tal cono, ya que solo se debe observar una condición para esto: debe pasar solo por el eje, entonces solo una sección axial del plano, que pertenecerá a la altura de este cono, se puede dibujar, porque el número de condiciones aumenta, y, como se sabe, dos líneas (juntas) pueden pertenecer asolo un avión.
Área de sección
La sección axial del cono mencionado anteriormente es un triángulo. En base a esto, su área se puede calcular usando la fórmula para el área de un triángulo:
S=1/2reh o S=1/22rh
donde S es el área de la sección transversal;
d – diámetro de la base;
r – radio;
h – altura.
En un cono oblicuo u oblicuo, la sección a lo largo del eje también es un triángulo, por lo que el área de la sección transversal se calcula de manera similar.
Volumen
Dado que un cono es una figura tridimensional en un espacio tridimensional, podemos calcular su volumen. El volumen de un cono es un número que caracteriza a este cuerpo en una unidad de volumen, es decir, en m3. El cálculo no depende de si es recto u oblicuo (oblicuo), ya que las fórmulas para estos dos tipos de cuerpos no difieren.
Como se indicó anteriormente, la formación de un cono recto ocurre debido a la rotación de un triángulo rectángulo a lo largo de uno de sus catetos. Un cono inclinado u oblicuo se forma de manera diferente, ya que su altura se aleja del centro del plano base del cuerpo. Sin embargo, tales diferencias en la estructura no afectan el método de cálculo de su volumen.
Cálculo de volumen
La fórmula para el volumen de cualquier cono se ve así:
V=1/3πhr2
donde V es el volumen del cono;
h – altura;
r – radio;
π - constante igual a 3, 14.
Para calcular el volumen de un cono, necesitas tener datos sobre la altura y el radio de la base del cuerpo.
Para calcular la altura de un cuerpo, necesitas saber el radio de la base y la longitud de su generatriz. Dado que el radio, la altura y la generatriz se combinan en un triángulo rectángulo, la altura se puede calcular usando la fórmula del teorema de Pitágoras (a2+ b2=c 2 o en nuestro caso h2+ r2=l2 , donde l - generatriz). En este caso, la altura se calculará extrayendo la raíz cuadrada de la diferencia entre los cuadrados de la hipotenusa y el otro cateto:
a=√c2-b2
Es decir, la altura del cono será igual al valor obtenido tras sacar la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la longitud de la generatriz y el cuadrado del radio de la base:
h=√l2 -r2
Calculando la altura con este método y conociendo el radio de su base, puedes calcular el volumen del cono. En este caso, la generatriz juega un papel importante, ya que sirve como elemento auxiliar en los cálculos.
Del mismo modo, si conoces la altura del cuerpo y la longitud de su generatriz, puedes encontrar el radio de su base extrayendo la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la generatriz y el cuadrado de la altura:
r=√l2 -h2
Luego, usando la misma fórmula anterior, calcula el volumen del cono.
Volumen del cono inclinado
Dado que la fórmula para el volumen de un cono es la misma para todos los tipos de cuerpo de revolución, la diferencia en su cálculo es la búsqueda de la altura.
Para saber la altura de un cono inclinado, los datos de entrada deben incluir la longitud de la generatriz, el radio de la base y la distancia entre el centrobase y la intersección de la altura del cuerpo con el plano de su base. Sabiendo esto, puedes calcular fácilmente aquella parte del diámetro de la base, que será la base de un triángulo rectángulo (formado por la altura, la generatriz y el plano de la base). Luego, usando de nuevo el teorema de Pitágoras, calcula la altura del cono y, posteriormente, su volumen.
