En la práctica, a menudo surgen tareas que requieren la capacidad de construir secciones de formas geométricas de varias formas y encontrar el área de las secciones. En este artículo, veremos cómo se construyen las secciones importantes de un prisma, una pirámide, un cono y un cilindro, y cómo calcular sus áreas.
figuras 3D
De la estereometría se sabe que una figura tridimensional de cualquier tipo está limitada por un número de superficies. Por ejemplo, para poliedros como un prisma y una pirámide, estas superficies son los lados poligonales. Para un cilindro y un cono, estamos hablando de superficies de revolución de figuras cilíndricas y cónicas.
Si tomamos un plano e intersecamos arbitrariamente la superficie de una figura tridimensional, obtendremos una sección. Su área es igual al área de la parte del plano que estará dentro del volumen de la figura. El valor mínimo de esta área es cero, que se realiza cuando el avión toca la figura. Por ejemplo, se obtiene una sección que está formada por un solo punto si el plano pasa por la parte superior de una pirámide o un cono. El valor máximo del área de la sección transversal depende dela posición relativa de la figura y el plano, así como la forma y el tamaño de la figura.
A continuación, consideraremos cómo calcular el área de las secciones formadas para dos figuras de revolución (cilindro y cono) y dos poliedros (pirámide y prisma).
Cilindro
Cilindro circular es una figura de rotación de un rectángulo alrededor de cualquiera de sus lados. El cilindro se caracteriza por dos parámetros lineales: radio base r y altura h. El siguiente diagrama muestra el aspecto de un cilindro recto circular.
Hay tres tipos de secciones importantes para esta figura:
- redondo;
- rectangular;
- elíptica.
La elíptica se forma como resultado de la intersección del plano con la superficie lateral de la figura en algún ángulo con respecto a su base. Redondo es el resultado de la intersección del plano de corte de la superficie lateral paralela a la base del cilindro. Finalmente, se obtiene una rectangular si el plano de corte es paralelo al eje del cilindro.
El área circular se calcula con la fórmula:
S1=pir2
El área de la sección axial, es decir rectangular, que pasa por el eje del cilindro, se define como sigue:
S2=2rh
Secciones de cono
Un cono es una figura de rotación de un triángulo rectángulo alrededor de uno de los catetos. El cono tiene una parte superior y una base redonda. Sus parámetros son también el radio r y la altura h. A continuación se muestra un ejemplo de un cono de papel.
Hay varios tipos de secciones cónicas. Vamos a enumerarlos:
- redondo;
- elíptica;
- parabólica;
- hipérbólico;
- triangular.
Se reemplazan si aumentas el ángulo de inclinación del plano secante con respecto a la base redonda. La forma más fácil es escribir las fórmulas para el área de la sección transversal de circular y triangular.
Una sección circular se forma como resultado de la intersección de una superficie cónica con un plano paralelo a la base. Para su área es válida la siguiente fórmula:
S1=pir2z2/h 2
Aquí z es la distancia desde la parte superior de la figura hasta la sección formada. Se puede ver que si z=0, entonces el plano pasa solo por el vértice, por lo que el área S1 será igual a cero. Dado que z < h, el área de la sección en estudio siempre será menor que su valor para la base.
La triangular se obtiene cuando el plano corta a la figura a lo largo de su eje de rotación. La forma de la sección resultante será un triángulo isósceles, cuyos lados son el diámetro de la base y dos generadores del cono. ¿Cómo encontrar el área de la sección transversal de un triángulo? La respuesta a esta pregunta será la siguiente fórmula:
S2=rh
Esta igualdad se obtiene aplicando la fórmula del área de un triángulo arbitrario a través de la longitud de su base y su altura.
Secciones de prisma
Prism es una gran clase de figuras que se caracterizan por la presencia de dos bases poligonales idénticas paralelas entre sí,conectados por paralelogramos. Cualquier sección de un prisma es un polígono. Dada la diversidad de las figuras consideradas (prismas oblicuos, rectos, n-gonales, regulares, cóncavos), la variedad de sus secciones también es grande. A continuación, consideramos solo algunos casos especiales.
Si el plano de corte es paralelo a la base, entonces el área de la sección transversal del prisma será igual al área de esta base.
Si el plano pasa por los centros geométricos de las dos bases, es decir, es paralelo a las aristas laterales de la figura, entonces se forma un paralelogramo en la sección. En el caso de prismas rectos y regulares, la vista en sección considerada será un rectángulo.
Pirámide
La pirámide es otro poliedro que consta de un n-ágono y n triángulos. A continuación se muestra un ejemplo de una pirámide triangular.
Si la sección está dibujada por un plano paralelo a la base n-gonal, entonces su forma será exactamente igual a la forma de la base. El área de dicha sección se calcula mediante la fórmula:
S1=So(h-z)2/h 2
Donde z es la distancia de la base al plano de sección, So es el área de la base.
Si el plano de corte contiene la parte superior de la pirámide y se cruza con su base, entonces obtenemos una sección triangular. Para calcular su área, debe consultar el uso de la fórmula adecuada para un triángulo.
