Pirámide triangular y fórmulas para determinar su área

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 05:23

La pirámide es una figura espacial geométrica, cuyas características se estudian en la escuela secundaria en el curso de geometría sólida. En este artículo, consideraremos una pirámide triangular, sus tipos y fórmulas para calcular su área de superficie.

¿De qué pirámide estamos hablando?

Una pirámide triangular es una figura que se puede obtener conectando todos los vértices de un triángulo arbitrario con un solo punto que no se encuentra en el plano de este triángulo. De acuerdo con esta definición, la pirámide en cuestión debe consistir en un triángulo inicial, que se llama la base de la figura, y tres triángulos laterales que tienen un lado común con la base y están conectados entre sí en un punto. Este último se llama la parte superior de la pirámide.

La imagen de arriba muestra una pirámide triangular arbitraria.

La figura considerada puede ser oblicua o recta. En este último caso, la perpendicular que cae desde la parte superior de la pirámide hasta su base debe cortarla en el centro geométrico. el centro geométrico de cualquiertriángulo es el punto de intersección de sus medianas. El centro geométrico coincide con el centro de masa de la figura en física.

Si un triángulo regular (equilátero) se encuentra en la base de una pirámide recta, entonces se llama triángulo regular. En una pirámide regular, todos los lados son iguales entre sí y son triángulos equiláteros.

Si la altura de una pirámide regular es tal que los triángulos de sus lados se vuelven equiláteros, entonces se llama tetraedro. En un tetraedro, las cuatro caras son iguales entre sí, por lo que cada una de ellas puede considerarse una base.

Elementos de la pirámide

Estos elementos incluyen las caras o lados de una figura, sus aristas, vértices, altura y apotemas.

Como se muestra, todos los lados de una pirámide triangular son triángulos. Su número es 4 (3 de lado y uno en la base).

Los vértices son los puntos de intersección de los tres lados triangulares. No es difícil adivinar que para la pirámide en consideración hay 4 de ellos (3 pertenecen a la base y 1 a la parte superior de la pirámide).

Los bordes se pueden definir como líneas que intersecan dos lados triangulares, o como líneas que conectan cada dos vértices. El número de aristas corresponde al doble del número de vértices de la base, es decir, para una pirámide triangular es 6 (3 aristas pertenecen a la base y 3 aristas están formadas por las caras laterales).

La altura, como se indicó anteriormente, es la longitud de la perpendicular trazada desde la parte superior de la pirámide hasta su base. Si trazamos alturas desde este vértice a cada lado de la base triangular,entonces se llamarán apotemas (o apotemas). Así, la pirámide triangular tiene una altura y tres apotemas. Estos últimos son iguales entre sí para una pirámide regular.

La base de la pirámide y su área

Como la base de la figura considerada es generalmente un triángulo, para calcular su área basta con encontrar su altura h_o y la longitud del lado de la base a, sobre la que se baja. La fórmula para el área S_o de la base es:

S_o=1/2h_oa

Si el triángulo de la base es equilátero, entonces el área de la base de la pirámide triangular se calcula mediante la siguiente fórmula:

S_o=√3/4a²

Es decir, el área S_oestá determinada únicamente por la longitud del lado a de la base triangular.

Lado y área total de la figura

Antes de considerar el área de una pirámide triangular, es útil mostrar su desarrollo. Ella se muestra a continuación.

El área de este barrido formado por cuatro triángulos es el área total de la pirámide. Uno de los triángulos corresponde a la base, cuya fórmula para el valor considerado se escribió arriba. Tres caras triangulares laterales juntas forman el área lateral de la figura. Por lo tanto, para determinar este valor, basta con aplicar la fórmula anterior para un triángulo arbitrario a cada uno de ellos y luego sumar los tres resultados.

Si la pirámide es correcta, entonces el cálculose facilita el área de la superficie lateral, ya que todas las caras laterales son triángulos equiláteros idénticos. Denote h_bla longitud de la apotema, entonces el área de la superficie lateral S_b se puede determinar de la siguiente manera:

S_b=3/2ah_b

Esta fórmula se deriva de la expresión general del área de un triángulo. El número 3 apareció en los numeradores debido a que la pirámide tiene tres caras laterales.

Apotema h_b en una pirámide regular se puede calcular si se conoce la altura de la figura h. Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos:

h_b=√(h²+ a²/12)

Obviamente, el área total S de la superficie de la figura es igual a la suma de las áreas de los lados y de la base:

S=S_o+ S_b

Para una pirámide regular, sustituyendo todos los valores conocidos, obtenemos la fórmula:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

El área de una pirámide triangular depende únicamente de la longitud del lado de su base y de la altura.

Problema de ejemplo

Se sabe que la arista lateral de una pirámide triangular mide 7 cm, y el lado de la base mide 5 cm. Necesitas encontrar el área de la superficie de la figura si sabes que la pirámide es regular.

Usar una igualdad general:

S=S_o+ S_b

Área S_oes igual a:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825cm}2.

Para determinar el área de la superficie lateral, necesitas encontrar el apotema. No es difícil demostrar que a lo largo de la arista lateral a_b está determinada por la fórmula:

h_b=√(a_b²-a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Entonces el área de S_b es:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

El área total de la pirámide es:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86 cm².

Tenga en cuenta que al resolver el problema, no usamos el valor de la altura de la pirámide en los cálculos.