Fórmula para determinar el volumen de un cono. Ejemplo de solucion de problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 05:23

Cada estudiante en el estudio de la estereometría en la escuela secundaria se encontró con un cono. Dos características importantes de esta figura espacial son la superficie y el volumen. En este artículo, mostraremos cómo encontrar el volumen de un cono redondo.

Cono redondo como figura de rotación de un triángulo rectángulo

Antes de pasar directamente al tema del artículo, es necesario describir el cono desde un punto de vista geométrico.

Que haya un triángulo rectángulo. Si lo gira alrededor de cualquiera de las patas, el resultado de esta acción será la figura deseada, que se muestra en la siguiente figura.

Aquí, el cateto AB es parte del eje del cono, y su longitud corresponde a la altura de la figura. El segundo cateto (segmento CA) será el radio del cono. Durante la rotación, describirá un círculo que delimita la base de la figura. La hipotenusa BC se llama generatriz de la figura, o su generatriz. El punto B es el único vértice del cono.

Dadas las propiedades del triángulo ABC, podemos escribir la relación entre la generatriz g, el radio r y la altura h de la siguiente maneraigualdad:

g²=h²+ r²

Esta fórmula es útil para resolver muchos problemas geométricos con la figura en cuestión.

Fórmula del volumen del cono

El volumen de cualquier figura espacial es el área del espacio, que está limitada por las superficies de esta figura. Hay dos superficies de este tipo para un cono:

1. Lateral o cónica. Está formado por todas las generatrices.
2. Base. En este caso, es un círculo.

Obtén la fórmula para determinar el volumen de un cono. Para hacer esto, lo cortamos mentalmente en muchas capas paralelas a la base. Cada una de las capas tiene un espesor dx, que tiende a cero. El área S_x de la capa a una distancia x de la parte superior de la figura es igual a la siguiente expresión:

S_x=pir²x²/h ²

La validez de esta expresión se puede comprobar intuitivamente sustituyendo los valores x=0 y x=h. En el primer caso obtendremos un área igual a cero, en el segundo caso será igual al área de la base redonda.

Para determinar el volumen del cono, necesitas sumar pequeños "volúmenes" de cada capa, es decir, debes usar el cálculo integral:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Calculando esta integral, llegamos a la fórmula final para un cono redondo:

V=1/3pir²h

Es interesante notar que esta fórmula es completamente similar a la que se usa para calcular el volumen de una pirámide arbitraria. Esta coincidencia no es casual, ya que toda pirámide se convierte en cono cuando el número de sus aristas aumenta hasta el infinito.

Problema de cálculo de volumen

Es útil dar un ejemplo de resolución del problema, que demostrará el uso de la fórmula derivada para el volumen V.

Dado un cono redondo cuya base es 37 cm², y el generador de la figura es tres veces el radio. ¿Cuál es el volumen del cono?

Tenemos derecho a usar la fórmula del volumen si conocemos dos cantidades: la altura h y el radio r. Busquemos las fórmulas que los determinen de acuerdo con la condición del problema.

El radio r se puede calcular conociendo el área del círculo S_o, tenemos:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Usando la condición del problema, escribimos la igualdad para el generador g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Conociendo las fórmulas de r y g, calcula la altura h:

h=√(sol²-r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Encontramos todos los parámetros necesarios. Ahora es el momento de insertarlos en la fórmula para V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Queda por sustituirárea base S_o y calcular el valor del volumen: V=119,75 cm³.