La capacidad de determinar el volumen de figuras espaciales es importante para resolver problemas geométricos y prácticos. Una de estas figuras es un prisma. Consideraremos en el artículo qué es y mostraremos cómo calcular el volumen de un prisma inclinado.
¿Qué significa un prisma en geometría?
Este es un poliedro regular (poliedro), que está formado por dos bases idénticas ubicadas en planos paralelos, y varios paralelogramos que conectan las bases marcadas.
Las bases de los prismas pueden ser polígonos arbitrarios, como triángulos, cuadriláteros, heptágonos, etc. Además, el número de esquinas (lados) del polígono determina el nombre de la figura.
Cualquier prisma con una base de n-ágonos (n es el número de lados) consta de n+2 caras, 2 × n vértices y 3 × n aristas. De los números dados se puede ver que el número de elementos del prisma corresponde al teorema de Euler:
3 × norte=2 × norte + norte + 2 - 2
La siguiente imagen muestra cómo se ven los prismas triangulares y cuadrangulares hechos de vidrio.
Tipos de figura. Prisma inclinado
Ya se ha dicho anteriormente que el nombre de un prisma está determinado por el número de lados del polígono en la base. Sin embargo, hay otras características en su estructura que determinan las propiedades de la figura. Entonces, si todos los paralelogramos que forman la superficie lateral del prisma están representados por rectángulos o cuadrados, entonces esa figura se llama línea recta. Para un prisma recto, la distancia entre las bases es igual a la longitud del borde lateral de cualquier rectángulo.
Si algunos o todos los lados son paralelogramos, entonces estamos hablando de un prisma inclinado. Su altura ya será menor que la longitud de la nervadura lateral.
Otro criterio por el cual se clasifican las figuras en consideración es la longitud de los lados y los ángulos del polígono en la base. Si son iguales entre sí, entonces el polígono será correcto. Una figura recta con un polígono regular en las bases se llama regular. Es conveniente trabajar con él al determinar el área superficial y el volumen. Un prisma inclinado en este sentido presenta algunas dificultades.
La siguiente figura muestra dos prismas con base cuadrada. El ángulo de 90° muestra la diferencia fundamental entre un prisma recto y uno oblicuo.
Fórmula para determinar el volumen de una figura
La parte del espacio delimitada por las caras de un prisma se llama volumen. Para las cifras consideradas de cualquier tipo, este valor puede determinarse mediante la siguiente fórmula:
V=h × So
Aquí, el símbolo h denota la altura del prisma,que es una medida de la distancia entre dos bases. Símbolo So- un cuadrado base.
El área base es fácil de encontrar. Dado que el polígono es regular o no, y sabiendo el número de sus lados, se debe aplicar la fórmula adecuada y obtener So. Por ejemplo, para un n-ágono regular con longitud de lado a, el área será:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Ahora pasemos a la altura h. Para un prisma recto, determinar la altura no es difícil, pero para un prisma oblicuo, no es una tarea fácil. Se puede resolver por varios métodos geométricos, a partir de condiciones iniciales específicas. Sin embargo, existe una forma universal de determinar la altura de una figura. Vamos a describirlo brevemente.
La idea es encontrar la distancia desde un punto en el espacio hasta un plano. Suponga que el plano viene dado por la ecuación:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Entonces el avión estará a distancia:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Si los ejes de coordenadas están dispuestos de modo que el punto (0; 0; 0) se encuentre en el plano de la base inferior del prisma, entonces la ecuación para el plano base se puede escribir de la siguiente manera:
z=0
Esto significa que la fórmula para la altura se escribiráentonces:
h=z1
Basta encontrar la coordenada z de cualquier punto de la base superior para determinar la altura de la figura.
Ejemplo de resolución de problemas
La siguiente figura muestra un prisma cuadrangular. La base de un prisma inclinado es un cuadrado de 10 cm de lado, es necesario calcular su volumen si se sabe que la longitud de la arista lateral es de 15 cm, y el ángulo agudo del paralelogramo frontal es de 70°.
Dado que la altura h de la figura también es la altura del paralelogramo, usamos fórmulas para determinar su área para encontrar h. Denotemos los lados del paralelogramo de la siguiente manera:
a=10cm;
b=15cm
Entonces puedes escribir las siguientes fórmulas para determinar el área Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
De donde obtenemos:
h=b × sen (α)
Aquí α es un ángulo agudo del paralelogramo. Como la base es un cuadrado, la fórmula para el volumen de un prisma inclinado tomará la forma:
V=a2 × b × sin (α)
Sustituimos los datos de la condición en la fórmula y obtenemos la respuesta: V ≈ 1410 cm3.
