El estudio de las propiedades de las figuras espaciales juega un papel importante en la resolución de problemas prácticos. La ciencia que se ocupa de las figuras en el espacio se llama estereometría. En este artículo, desde el punto de vista de la geometría sólida, consideraremos un cono y mostraremos cómo encontrar el área de un cono.
Cono con base redonda
En el caso general, un cono es una superficie construida sobre una curva plana, cuyos puntos están conectados por segmentos con un punto en el espacio. Este último se llama vértice del cono.
De la definición anterior, está claro que una curva puede tener una forma arbitraria, como parabólica, hiperbólica, elíptica, etc. Sin embargo, en la práctica y en problemas de geometría, a menudo se encuentra un cono redondo. Se muestra en la siguiente imagen.
Aquí el símbolo r denota el radio del círculo ubicado en la base de la figura, h es la perpendicular al plano del círculo, que se dibuja desde la parte superior de la figura. Se llama altura. El valor s es la generatriz del cono, o su generatriz.
Se puede ver que los segmentos r, h y sformar un triángulo rectángulo. Si se gira alrededor del cateto h, entonces la hipotenusa s describirá la superficie cónica y el cateto r formará la base redonda de la figura. Por esta razón, el cono se considera una figura de revolución. Los tres parámetros lineales nombrados están interconectados por la igualdad:
s2=r2+ h2
Tenga en cuenta que la igualdad dada es válida solo para un cono recto redondo. Una figura recta es solo si su altura cae exactamente en el centro del círculo base. Si no se cumple esta condición, la figura se llama oblicua. La diferencia entre conos rectos y oblicuos se muestra en la siguiente figura.
Desarrollo de la forma
Estudiar la superficie de un cono es conveniente de realizar, considerándolo en un plano. Esta forma de representar la superficie de las figuras en el espacio se denomina su desarrollo. Para un cono, este desarrollo se puede obtener de la siguiente manera: debe tomar una figura hecha, por ejemplo, de papel. Luego, con unas tijeras, corta la base redonda alrededor de la circunferencia. Después de eso, a lo largo de la generatriz, corte la superficie cónica y conviértala en un plano. El resultado de estas simples operaciones será el desarrollo del cono, que se muestra en la siguiente figura.
Como puedes ver, la superficie de un cono se puede representar en un plano. Consta de las siguientes dos partes:
- círculo de radio r que representa la base de la figura;
- sector circular de radio g, que es una superficie cónica.
La fórmula para el área de un cono consiste en encontrar las áreas de ambas superficies desplegadas.
Calcular la superficie de una figura
Dividamos la tarea en dos etapas. Primero encontramos el área de la base del cono, luego el área de la superficie cónica.
La primera parte del problema es fácil de resolver. Dado que el radio r está dado, basta con recordar la expresión correspondiente al área de un círculo para calcular el área de la base. Escribámoslo:
So=pi × r2
Si no conoce el radio, primero debe encontrarlo usando la fórmula de relación entre él, la altura y el generador.
La segunda parte del problema de encontrar el área de un cono es algo más complicada. Tenga en cuenta que el sector circular se construye sobre el radio g de la generatriz y está delimitado por un arco cuya longitud es igual a la circunferencia del círculo. Este hecho le permite anotar la proporción y encontrar el ángulo del sector considerado. Denotemos con la letra griega φ. Este ángulo será igual a:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Conociendo el ángulo central φ de un sector circular, puedes usar la proporción apropiada para encontrar su área. Lo denotaremos con el símbolo Sb. Será igual a:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
Es decir, el área de la superficie cónica corresponde al producto de la generatriz g, el radio de la base r y el número Pi.
Saber cuáles son las áreas de ambosconsideradas superficies, podemos escribir la fórmula final para el área de un cono:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × gramo=pi × r × (r + gramo)
La expresión escrita asume el conocimiento de dos parámetros lineales del cono para calcular S. Si g o r son desconocidos, entonces se pueden encontrar a través de la altura h.
El problema de calcular el área de un cono
Se sabe que la altura de un cono recto redondo es igual a su diámetro. Es necesario calcular el área de la figura, sabiendo que el área de su base es de 50 cm2.
Conociendo el área de un círculo, puedes encontrar el radio de la figura. Tenemos:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Ahora encontremos el generador g en términos de h y r. Según la condición, la altura h de la figura es igual a dos radios r, entonces:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
Las fórmulas encontradas para g y r deben sustituirse en la expresión para el área total del cono. Obtenemos:
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
En la expresión resultante sustituimos el área de la base So y escribimos la respuesta: S ≈ 161.8 cm2.
