¿Qué es esto? ¿Un cono? Definición, propiedades, fórmulas y un ejemplo de resolución del problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2024-01-02 17:45

Un cono es una de las figuras espaciales de rotación, cuyas características y propiedades se estudian mediante estereometría. En este artículo, definiremos esta figura y consideraremos las fórmulas básicas que conectan los parámetros lineales de un cono con su área de superficie y volumen.

¿Qué es un cono?

Desde el punto de vista de la geometría, estamos hablando de una figura espacial, que está formada por un conjunto de segmentos rectos que conectan un cierto punto en el espacio con todos los puntos de una suave curva plana. Esta curva puede ser un círculo o una elipse. La siguiente figura muestra un cono.

La figura presentada no tiene volumen, ya que las paredes de su superficie tienen un grosor infinitesimal. Sin embargo, si está lleno de una sustancia y delimitado desde arriba no por una curva, sino por una figura plana, por ejemplo, un círculo, entonces obtendremos un cuerpo volumétrico sólido, que también se denomina comúnmente cono.

La forma de un cono a menudo se puede encontrar en la vida. Por lo tanto, tiene un cono de helado o conos de tráfico rayados en negro y naranja que se colocan en la calzada para atraer la atención de los participantes del tráfico.

Elementos de un cono y sus tipos

Dado que el cono no es un poliedro, el número de elementos que lo forman no es tan grande como para los poliedros. En geometría, un cono general consta de los siguientes elementos:

• base, cuya curva límite se llama directriz o generatriz;
• de la superficie lateral, que es el conjunto de todos los puntos de los segmentos de línea recta (generatrices) que conectan el vértice y los puntos de la curva guía;
• vértice, que es el punto de intersección de las generatrices.

Tenga en cuenta que el vértice no debe estar en el plano de la base, ya que en este caso el cono degenera en una figura plana.

Si dibujamos un segmento perpendicular desde la parte superior hasta la base, obtendremos la altura de la figura. Si la última base se corta en el centro geométrico, entonces es un cono recto. Si la perpendicular no coincide con el centro geométrico de la base, entonces la figura estará inclinada.

En la figura se muestran conos rectos y oblicuos. Aquí, la altura y el radio de la base del cono se denotan por h y r, respectivamente. La línea que conecta la parte superior de la figura y el centro geométrico de la base es el eje del cono. Se puede ver en la figura que para una figura recta, la altura se encuentra sobre este eje, y para una figura inclinada, la altura forma un ángulo con el eje. El eje del cono se indica con la letra a.

Cono recto con base redonda

Quizás, este cono es el más común de la clase de figuras considerada. consta de un circulo y un ladosuperficies. No es difícil obtenerlo por métodos geométricos. Para hacer esto, toma un triángulo rectángulo y gíralo alrededor de un eje que coincida con uno de los catetos. Obviamente, este cateto se convertirá en la altura de la figura, y la longitud del segundo cateto del triángulo forma el radio de la base del cono. El siguiente diagrama demuestra el esquema descrito para obtener la cifra de rotación en cuestión.

El triángulo representado se puede girar alrededor de otro cateto, lo que dará como resultado un cono con un radio de base más grande y una altura más baja que el primero.

Para determinar sin ambigüedades todos los parámetros de un cono recto redondo, se deben conocer dos de sus características lineales. Entre ellos se distinguen el radio r, la altura h o la longitud de la generatriz g. Todas estas cantidades son las longitudes de los lados del triángulo rectángulo considerado, por lo tanto, el teorema de Pitágoras es válido para su conexión:

g²=r²+ h^2.

Superficie

Al estudiar la superficie de cualquier figura tridimensional, es conveniente utilizar su desarrollo en un plano. El cono no es una excepción. Para un cono redondo, el desarrollo se muestra a continuación.

Vemos que el despliegue de la figura consta de dos partes:

1. El círculo que forma la base del cono.
2. El sector del círculo, que es la superficie cónica de la figura.

El área de un círculo es fácil de encontrar y todos los estudiantes conocen la fórmula correspondiente. Hablando del sector circular, notamos quees parte de un círculo con radio g (la longitud de la generatriz del cono). La longitud del arco de este sector es igual a la circunferencia de la base. Estos parámetros permiten determinar sin ambigüedades su área. La fórmula correspondiente es:

S=pir2+ pirg.

El primer y segundo término de la expresión son el cono de la base y la superficie lateral del área, respectivamente.

Si se desconoce la longitud del generador g, pero se da la altura h de la figura, entonces la fórmula se puede reescribir como:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

El volumen de la figura

Si tomamos una pirámide recta y aumentamos el número de lados de su base en el infinito, entonces la forma de la base tenderá a un círculo, y la superficie lateral de la pirámide se aproximará a la superficie cónica. Estas consideraciones nos permiten usar la fórmula del volumen de una pirámide al calcular un valor similar para un cono. El volumen de un cono se puede encontrar usando la fórmula:

V=1/3hS_o.

Esta fórmula siempre es cierta, independientemente de cuál sea la base del cono, que tiene el área S_{o. Además, la fórmula también se aplica al cono oblicuo.}

Como estamos estudiando las propiedades de una figura recta de base redonda, podemos usar la siguiente expresión para determinar su volumen:

V=1/3hpir2.

La fórmula es obvia.

El problema de encontrar el área de la superficie y el volumen

Sea dado un cono, cuyo radio es de 10 cm, y la longitud de la generatriz es de 20consulte Necesidad de determinar el volumen y el área de superficie para esta forma.

Para calcular el área S, puedes usar inmediatamente la fórmula escrita arriba. Tenemos:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Para determinar el volumen, necesitas saber la altura h de la figura. Lo calculamos usando la relación entre los parámetros lineales del cono. Obtenemos:

h=√(sol²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Ahora puedes usar la fórmula para V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Tenga en cuenta que el volumen de un cono redondo es un tercio del cilindro en el que está inscrito.