Prisma y sus elementos. Propiedades de un prisma cuadrangular regular

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 05:23

Prism es una figura geométrica tridimensional bastante simple. Sin embargo, algunos escolares tienen problemas para determinar sus propiedades principales, cuya causa, por regla general, está asociada con la terminología utilizada incorrectamente. En este artículo, consideraremos qué son los prismas, cómo se llaman y también describiremos en detalle el prisma cuadrangular correcto.

Prisma en geometría

El estudio de figuras tridimensionales es una tarea de estereometría, una parte importante de la geometría espacial. En estereometría, un prisma se entiende como una figura formada por la traslación paralela de un polígono plano arbitrario a una cierta distancia en el espacio. La traslación paralela implica un movimiento en el que se excluye completamente la rotación alrededor de un eje perpendicular al plano del polígono.

Como resultado del método descrito para obtener un prisma, se forma una figura, limitada por dospolígonos que tienen las mismas dimensiones, que se encuentran en planos paralelos, y un cierto número de paralelogramos. Su número coincide con el número de lados (vértices) del polígono. Los polígonos idénticos se llaman bases del prisma, y su área superficial es el área de las bases. Los paralelogramos que conectan dos bases forman una superficie lateral.

Elementos del prisma y el teorema de Euler

Como la figura tridimensional considerada es un poliedro, es decir, está formado por un conjunto de planos que se cortan, se caracteriza por un cierto número de vértices, aristas y caras. Todos son elementos de un prisma.

A mediados del siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler estableció una conexión entre el número de elementos básicos de un poliedro. Esta relación se escribe con la siguiente fórmula simple:

Número de aristas=número de vértices + número de caras - 2

Para cualquier prisma, esta igualdad es verdadera. Pongamos un ejemplo de su uso. Supongamos que hay un prisma cuadrangular regular. Ella se muestra a continuación.

Se puede ver que el número de vértices es 8 (4 para cada base cuadrangular). El número de lados o caras es 6 (2 bases y 4 rectángulos de lado). Entonces el número de aristas será:

Número de costillas=8 + 6 - 2=12

Todos ellos se pueden contar si te refieres a la misma imagen. Ocho aristas se encuentran en las bases y cuatro aristas son perpendiculares a estas bases.

Clasificación completa de prismas

Es importante entender esta clasificación para que no te confundas con la terminología más adelante y utilices las fórmulas correctas para calcular, por ejemplo, el área superficial o el volumen de las figuras.

Para cualquier prisma de forma arbitraria, se pueden distinguir 4 rasgos que lo caracterizarán. Vamos a enumerarlos:

• Por el número de vértices del polígono en la base: triangular, pentagonal, octagonal, etc.
• Tipo de polígono. Puede ser correcto o incorrecto. Por ejemplo, un triángulo rectángulo es irregular, pero un triángulo equilátero es correcto.
• Según el tipo de convexidad del polígono. Puede ser cóncavo o convexo. Los prismas convexos son los más comunes.
• En los ángulos entre las bases y los paralelogramos laterales. Si todos estos ángulos son iguales a 90^o, entonces hablan de un prisma recto, si no todos ellos son rectos, entonces tal figura se llama oblicua.

De todos estos puntos, me gustaría detenerme en el último. Un prisma recto también se llama prisma rectangular. Esto se debe a que para ello los paralelogramos son rectángulos en el caso general (en algunos casos pueden ser cuadrados).

Por ejemplo, la figura de arriba muestra una figura recta o rectangular cóncava pentagonal.

Prisma cuadrangular normal

La base de este prisma es un cuadrilátero regular, es decir, un cuadrado. La figura de arriba ya ha mostrado cómo se ve este prisma. Además de los dos cuadrados que tienelímite superior e inferior, también incluye 4 rectángulos.

Denotemos el lado de la base de un prisma cuadrangular regular con la letra a, la longitud de su arista lateral la denotaremos con la letra c. Esta longitud es también la altura de la figura. Entonces el área de toda la superficie de este prisma se expresa mediante la fórmula:

S=2a²+ 4ac=2a(a + 2c)

Aquí el primer término refleja la contribución de las bases al área total, el segundo término es el área de la superficie lateral.

Teniendo en cuenta las designaciones introducidas para las longitudes de los lados, escribimos la fórmula para el volumen de la figura en cuestión:

V=a²c

Es decir, el volumen se calcula como el producto del área de la base cuadrada y la longitud de la arista lateral.

Forma de cubo

Todos conocen esta figura tridimensional ideal, pero pocos pensaron que se trata de un prisma cuadrangular regular, cuyo lado es igual a la longitud del lado de la base cuadrada, es decir, c=a.

Para un cubo, las fórmulas para el área de superficie total y el volumen tomarán la forma:

S=6a²

V=un³

Dado que un cubo es un prisma que consta de 6 cuadrados idénticos, cualquier par paralelo de ellos puede considerarse una base.

Cube es una figura altamente simétrica, que en la naturaleza se realiza en forma de redes cristalinas de muchos materiales metálicos y cristales iónicos. Por ejemplo, celosías de oro, plata, cobre y mesa.las sales son cúbicas.