El problema de Goldbach es uno de los problemas más antiguos y publicitados en la historia de todas las matemáticas.
Se ha demostrado que esta conjetura es cierta para todos los números enteros menores que 4 × 1018, pero sigue sin probarse a pesar de los considerables esfuerzos de los matemáticos.
Número
El número de Goldbach es un número entero par positivo que es la suma de un par de números primos impares. Otra forma de la conjetura de Goldbach es que todos los enteros pares mayores que cuatro son números de Goldbach.
La separación de tales números se llama partición (o partición) de Goldbach. A continuación se muestran ejemplos de secciones similares para algunos números pares:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Descubrimiento de la hipótesis
Goldbach tenía un colega llamado Euler, a quien le gustaba contar, escribir fórmulas complejas y proponer teorías irresolubles. En esto eran similares a Goldbach. Euler hizo un acertijo matemático similar incluso antes de Goldbach, con quiencorrespondencia constante. Luego propuso una segunda sugerencia en el margen de su manuscrito, según la cual un número entero mayor que 2 podría escribirse como la suma de tres números primos. Consideraba que el 1 era un número primo.
Ahora se sabe que las dos hipótesis son similares, pero esto no parecía ser un problema en ese momento. La versión moderna del problema de Goldbach establece que todo número entero mayor que 5 se puede escribir como la suma de tres números primos. Euler respondió en una carta fechada el 30 de junio de 1742 y le recordó a Goldbach una conversación anterior que tuvieron ("… así que estamos hablando de la hipótesis original (y no marginal) que surge de la siguiente declaración").
Problema de Euler-Goldbach
2 y sus números pares se pueden escribir como la suma de dos números primos, que también es la conjetura de Goldbach. En una carta del 30 de junio de 1742, Euler afirma que todo número par es el resultado de la suma de dos números primos, lo que considera un teorema bien definido, aunque no puede demostrarlo.
Tercera versión
La tercera versión del problema de Goldbach (equivalente a las otras dos versiones) es la forma en que se suele dar la conjetura en la actualidad. También se conoce como la conjetura de Goldbach "fuerte", "par" o "binaria" para distinguirla de la hipótesis más débil conocida hoy como la conjetura de Goldbach "débil", "impar" o "ternaria". La conjetura débil establece que todos los números impares mayores que 7 son la suma de tres números primos impares. La conjetura débil se demostró en 2013. La hipótesis débil esconsecuencia de una hipótesis fuerte. El corolario inverso y la fuerte conjetura de Goldbach siguen sin probarse hasta el día de hoy.
Cheque
Para valores pequeños de n, se puede verificar el problema de Goldbach (y por lo tanto la conjetura de Goldbach). Por ejemplo, Nils Pipping en 1938 probó cuidadosamente la hipótesis hasta n ≦ 105. Con la llegada de las primeras computadoras, se calcularon muchos más valores de n.
Oliveira Silva realizó una búsqueda informática distribuida que confirmó la hipótesis de n ≦ 4 × 1018 (y comprobó dos veces hasta 4 × 1017) a partir de 2013. Una entrada de esta búsqueda es que 3,325,581,707,333,960,528 es el número más pequeño que no tiene una división de Goldbach con un número primo por debajo de 9781.
Heurística
La versión de la forma fuerte de la conjetura de Goldbach es la siguiente: dado que la cantidad tiende a infinito a medida que n aumenta, esperamos que todo número par grande tenga más de una representación como la suma de dos números primos. Pero, de hecho, hay muchas representaciones de este tipo. ¿Quién resolvió el problema de Goldbach? Por desgracia, todavía nadie.
Este argumento heurístico es algo impreciso, ya que supone que m es estadísticamente independiente de n. Por ejemplo, si m es impar, entonces n - m también es impar, y si m es par, entonces n - m es par, y esta es una relación no trivial (compleja), porque aparte del número 2, solo impar los números pueden ser primos. De manera similar, si n es divisible por 3 y m ya era un número primo distinto de 3, entonces n - m también son mutuamenteprimo con 3, por lo que es más probable que sea un número primo en lugar de un número total. Llevando a cabo este tipo de análisis con más cuidado, Hardy y Littlewood en 1923, como parte de su famosa conjetura de tupla simple de Hardy-Littlewood, hicieron el refinamiento anterior de toda la teoría. Pero hasta ahora no ha ayudado a resolver el problema.
Hipótesis fuerte
La conjetura de Goldbach fuerte es mucho más complicada que la conjetura de Goldbach débil. Shnirelman demostró más tarde que cualquier número natural mayor que 1 se puede escribir como la suma de, como máximo, C primos, donde C es una constante efectivamente computable. Muchos matemáticos intentaron resolverlo, contando y multiplicando números, ofreciendo fórmulas complejas, etc. Pero nunca tuvieron éxito, porque la hipótesis es demasiado complicada. No ayudaron las fórmulas.
Pero vale la pena alejarse un poco de la cuestión de probar el problema de Goldbach. La constante de Shnirelman es el número C más pequeño con esta propiedad. El mismo Shnirelman obtuvo C <800 000. Este resultado fue posteriormente complementado por muchos autores, como Olivier Ramaret, quien demostró en 1995 que todo número par n ≧ 4 es en realidad la suma de como máximo seis números primos. El resultado más famoso actualmente asociado con la teoría de Goldbach de Harald Helfgott.
Más desarrollo
En 1924, Hardy y Littlewood asumieron G. R. H. mostró que el número de números pares hasta X, violando el problema binario de Goldbach, es mucho menor que para los pequeños c.
En 1973 Chen JingyunTraté de resolver este problema, pero no funcionó. También era matemático, por lo que le gustaba mucho resolver acertijos y demostrar teoremas.
En 1975, dos matemáticos estadounidenses demostraron que existen constantes positivas cy C, aquellas para las que N es lo suficientemente grande. En particular, el conjunto de los números enteros pares tiene densidad cero. Todo esto sirvió para trabajar en la solución del problema ternario de Goldbach, que tendrá lugar en el futuro.
En 1951, Linnik demostró la existencia de una constante K tal que todo número par suficientemente grande es el resultado de sumar un número primo y otro número primo entre sí. Roger Heath-Brown y Jan-Christoph Schlage-Puchta descubrieron en 2002 que K=13 funciona. Esto es muy interesante para todas las personas a las que les gusta sumar entre sí, sumar números diferentes y ver qué pasa.
Solución del problema de Goldbach
Al igual que con muchas conjeturas conocidas en matemáticas, hay una serie de supuestas pruebas de la conjetura de Goldbach, ninguna de las cuales es aceptada por la comunidad matemática.
Aunque la conjetura de Goldbach implica que todo número entero positivo mayor que uno puede escribirse como la suma de tres números primos como máximo, no siempre es posible encontrar tal suma usando un algoritmo codicioso que usa el mayor número primo posible en cada paso. La secuencia de Pillai realiza un seguimiento de los números que requieren la mayor cantidad de números primos en sus representaciones codiciosas. Por lo tanto, la solución al problema de Goldbachtodavía en cuestión. Sin embargo, tarde o temprano lo más probable es que se resuelva.
Existen teorías similares al problema de Goldbach en las que los números primos se reemplazan por otros conjuntos específicos de números, como los cuadrados.
Christian Goldbach
Christian Goldbach fue un matemático alemán que también estudió derecho. Hoy se le recuerda por la conjetura de Goldbach.
Trabajó como matemático toda su vida; le gustaba mucho sumar números e inventar nuevas fórmulas. También sabía varios idiomas, en cada uno de los cuales escribió su diario personal. Estos idiomas eran alemán, francés, italiano y ruso. Además, según algunas fuentes, hablaba inglés y latín. Fue conocido como un matemático bastante conocido durante su vida. Goldbach también estaba muy relacionado con Rusia, porque tenía muchos colegas rusos y el favor personal de la familia real.
Continuó trabajando en la recién inaugurada Academia de Ciencias de San Petersburgo en 1725 como profesor de matemáticas e historiador de la academia. En 1728, cuando Pedro II se convirtió en zar de Rusia, Goldbach se convirtió en su mentor. En 1742 ingresó al Ministerio de Relaciones Exteriores de Rusia. Es decir, en realidad trabajó en nuestro país. En ese momento, muchos científicos, escritores, filósofos y militares vinieron a Rusia, porque Rusia en ese momento era un país de oportunidades como Estados Unidos. Muchos han hecho carrera aquí. Y nuestro héroe no es una excepción.
Christian Goldbach era políglota: escribía un diario en alemán y latín, sus cartasestaban escritos en alemán, latín, francés e italiano, y para los documentos oficiales usaba ruso, alemán y latín.
Murió el 20 de noviembre de 1764 a la edad de 74 años en Moscú. El día en que se resuelva el problema de Goldbach será un merecido homenaje a su memoria.
Conclusión
Goldbach fue un gran matemático que nos entregó uno de los mayores misterios de esta ciencia. No se sabe si alguna vez se resolverá o no. Sólo sabemos que su supuesta resolución, como en el caso del teorema de Fermat, abrirá nuevas perspectivas para las matemáticas. A los matemáticos les gusta mucho resolverlo y analizarlo. Es muy interesante y curioso desde un punto de vista heurístico. Incluso a los estudiantes de matemáticas les gusta resolver el problema de Goldbach. ¿De que otra forma? Después de todo, los jóvenes se sienten atraídos constantemente por todo lo brillante, ambicioso y sin resolver, porque al superar las dificultades uno puede afirmarse a sí mismo. Esperemos que pronto este problema sea resuelto por mentes jóvenes, ambiciosas e inquisitivas.
