La fórmula del volumen de una pirámide hexagonal: un ejemplo de resolución de un problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2024-01-02 17:45

El cálculo de volúmenes de figuras espaciales es una de las tareas importantes de la estereometría. En este artículo, consideraremos el tema de determinar el volumen de un poliedro como una pirámide, y también daremos la fórmula para el volumen de una pirámide hexagonal regular.

pirámide hexagonal

Primero, veamos cuál es la figura, que se discutirá en el artículo.

Tengamos un hexágono arbitrario cuyos lados no sean necesariamente iguales entre sí. Supongamos también que hemos elegido un punto en el espacio que no está en el plano del hexágono. Al conectar todas las esquinas de este último con el punto seleccionado, obtenemos una pirámide. En la siguiente figura se muestran dos pirámides diferentes con una base hexagonal.

Se puede ver que además del hexágono, la figura consta de seis triángulos, cuyo punto de conexión se llama vértice. La diferencia entre las pirámides representadas es que la altura h de la derecha de ellas no corta la base hexagonal en su centro geométrico, y la altura de la figura de la izquierda caejusto en ese centro. Gracias a este criterio, la pirámide izquierda se llamó recta y la derecha, oblicua.

Dado que la base de la figura de la izquierda en la figura está formada por un hexágono con lados y ángulos iguales, se llama correcta. Más adelante en el artículo hablaremos solo de esta pirámide.

Volumen de la pirámide hexagonal

Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la siguiente fórmula es válida:

V=1/3hS_o

Aquí h es la longitud de la altura de la figura, S_{o es el área de su base. Usemos esta expresión para determinar el volumen de una pirámide hexagonal regular.}

Dado que la figura en cuestión se basa en un hexágono equilátero, para calcular su área, puedes usar la siguiente expresión general para un n-ágono:

S=n/4a2ctg(pi/n)

Aquí n es un número entero igual al número de lados (esquinas) del polígono, a es la longitud de su lado, la función cotangente se calcula usando las tablas apropiadas.

Aplicando la expresión para n=6, obtenemos:

S₆=6/4a² ctg(pi/6)=√3/2a ²

Ahora queda sustituir esta expresión en la fórmula general del volumen V:

V₆=S₆h=√3/2ha²

Así, para calcular el volumen de la pirámide considerada, es necesario conocer sus dos parámetros lineales: la longitud del lado de la base y la altura de la figura.

Ejemplo de resolución de problemas

Veamos cómo se puede usar la expresión obtenida para V_{6 para resolver el siguiente problema.}

Se sabe que el volumen de una pirámide hexagonal regular es de 100 cm3. Es necesario determinar el lado de la base y la altura de la figura, si se sabe que están relacionados entre sí por la siguiente igualdad:

a=2h

Dado que solo a y h están incluidos en la fórmula del volumen, cualquiera de estos parámetros puede sustituirse en ella, expresados en términos del otro. Por ejemplo, sustituimos a, obtenemos:

V₆=√3/2h(2h)^2=>

h=∛(V_6/(2√3))

Para encontrar el valor de la altura de una figura, necesitas sacar la raíz de tercer grado del volumen, que corresponde a la dimensión de la longitud. Sustituimos el valor del volumen V_{6de la pirámide del enunciado del problema, obtenemos la altura:}

h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm

Dado que el lado de la base, de acuerdo con la condición del problema, es el doble del valor encontrado, obtenemos su valor:

a=2h=23, 0676=6, 1352cm

El volumen de una pirámide hexagonal se puede encontrar no solo a través de la altura de la figura y el valor del lado de su base. Basta conocer dos parámetros lineales diferentes de la pirámide para calcularla, por ejemplo, el apotema y la longitud de la arista lateral.