Triángulo, cuadrado, hexágono: estas figuras son conocidas por casi todos. Pero no todo el mundo sabe qué es un polígono regular. Pero estas son todas las mismas formas geométricas. Un polígono regular es aquel que tiene ángulos y lados iguales. Hay muchas de estas figuras, pero todas tienen las mismas propiedades y se les aplican las mismas fórmulas.
Propiedades de los polígonos regulares
Cualquier polígono regular, ya sea un cuadrado o un octágono, se puede inscribir en un círculo. Esta propiedad básica se usa a menudo cuando se construye una figura. Además, un círculo también se puede inscribir en un polígono. En este caso, el número de puntos de contacto será igual al número de sus lados. Es importante que una circunferencia inscrita en un polígono regular tenga un centro común con ella. Estas figuras geométricas están sujetas a los mismos teoremas. cualquier ladode un n-ágono regular está relacionado con el radio R de la circunferencia circunscrita a él, por lo que se puede calcular con la siguiente fórmula: a=2R ∙ sen180°. A través del radio del círculo, puedes encontrar no solo los lados, sino también el perímetro del polígono.
Cómo hallar el número de lados de un polígono regular
Cualquier n-ágono regular consiste en un cierto número de segmentos iguales entre sí, que, cuando se conectan, forman una línea cerrada. En este caso, todas las esquinas de la figura formada tienen el mismo valor. Los polígonos se dividen en simples y complejos. El primer grupo incluye un triángulo y un cuadrado. Los polígonos complejos tienen más lados. También incluyen figuras en forma de estrella. Para polígonos regulares complejos, los lados se encuentran inscribiéndolos en un círculo. Demos una prueba. Dibuja un polígono regular con un número arbitrario de lados n. Describe un círculo a su alrededor. Especifique el radio R. Ahora imagine que se da algún n-ágono. Si los puntos de sus ángulos están en un círculo y son iguales entre sí, entonces los lados se pueden encontrar mediante la fórmula: a=2R ∙ sinα: 2.
Encontrar el número de lados de un triángulo regular inscrito
Un triángulo equilátero es un polígono regular. Se le aplican las mismas fórmulas que al cuadrado y al n-ágono. Un triángulo se considerará correcto si tiene lados de la misma longitud. En este caso, los ángulos son 60⁰. Construya un triángulo con una longitud de lado dada a. Conociendo su mediana y altura,puedes encontrar el valor de sus lados. Para ello, utilizaremos el método de hallar mediante la fórmula a \u003d x: cosα, donde x es la mediana o altura. Como todos los lados del triángulo son iguales, obtenemos a=b=c. Entonces será verdadera la siguiente afirmación a=b=c=x: cosα. De manera similar, puedes encontrar el valor de los lados en un triángulo isósceles, pero x será la altura dada. Al mismo tiempo, debe proyectarse estrictamente sobre la base de la figura. Entonces, conociendo la altura x, encontramos el lado a de un triángulo isósceles usando la fórmula a \u003d b \u003d x: cosα. Después de encontrar el valor de a, puedes calcular la longitud de la base c. Apliquemos el teorema de Pitágoras. Buscaremos el valor de la mitad de la base c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Entonces c=2xtanα. Esta es una forma sencilla de encontrar el número de lados de cualquier polígono inscrito.
Calcular los lados de un cuadrado inscrito en una circunferencia
Como cualquier otro polígono regular inscrito, un cuadrado tiene lados y ángulos iguales. Se le aplican las mismas fórmulas que al triángulo. Puedes calcular los lados de un cuadrado usando el valor de la diagonal. Consideremos este método con más detalle. Se sabe que la diagonal biseca al ángulo. Inicialmente, su valor era de 90 grados. Así, después de la división, se forman dos triángulos rectángulos. Sus ángulos de base serán de 45 grados. En consecuencia, cada lado del cuadrado será igual, es decir: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, donde e es la diagonal del cuadrado, o la base de el triángulo rectángulo formado después de la división. no es la única maneraencontrar los lados de un cuadrado. Inscribamos esta figura en un círculo. Conociendo el radio de este círculo R, encontramos el lado del cuadrado. Lo calcularemos de la siguiente manera a4=R√2. Los radios de los polígonos regulares se calculan mediante la fórmula R=a: 2tg (360o: 2n), donde a es la longitud del lado.
Cómo calcular el perímetro de un n-ágono
El perímetro de un n-ágono es la suma de todos sus lados. Es fácil calcularlo. Para hacer esto, necesita conocer los valores de todos los lados. Para algunos tipos de polígonos, existen fórmulas especiales. Te permiten encontrar el perímetro mucho más rápido. Se sabe que todo polígono regular tiene lados iguales. Por tanto, para calcular su perímetro basta con conocer al menos uno de ellos. La fórmula dependerá del número de lados de la figura. En general, se ve así: P \u003d an, donde a es el valor del lado y n es el número de ángulos. Por ejemplo, para hallar el perímetro de un octágono regular de 3 cm de lado, hay que multiplicarlo por 8, es decir, P=3 ∙ 8=24 cm, para un hexágono de 5 cm de lado calculamos de la siguiente manera: P=5 ∙ 6=30 cm Y así para cada polígono.
Encontrar el perímetro de un paralelogramo, un cuadrado y un rombo
Dependiendo de cuantos lados tiene un polígono regular se calcula su perímetro. Esto hace que la tarea sea mucho más fácil. Efectivamente, a diferencia de otras figuras, en este caso no es necesario buscar todos sus lados, basta con uno solo. Por el mismo principio, encontramos el perímetro encuadrángulos, es decir, un cuadrado y un rombo. A pesar de que se trata de figuras diferentes, la fórmula para ellas es la misma P=4a, donde a es el lado. Tomemos un ejemplo. Si el lado de un rombo o cuadrado es de 6 cm, entonces encontramos el perímetro de la siguiente manera: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Un paralelogramo tiene solo lados opuestos. Por lo tanto, su perímetro se encuentra usando un método diferente. Entonces, necesitamos saber la longitud a y el ancho b de la figura. Luego aplicamos la fórmula P=(a + c) ∙ 2. Un paralelogramo, en el que todos los lados y ángulos entre ellos son iguales, se llama rombo.
Encontrar el perímetro de un triángulo equilátero y rectángulo
El perímetro de un triángulo equilátero regular se puede encontrar mediante la fórmula P=3a, donde a es la longitud del lado. Si se desconoce, se puede encontrar a través de la mediana. En un triángulo rectángulo, solo dos lados son iguales. La base se puede encontrar a través del teorema de Pitágoras. Después de conocer los valores de los tres lados, calculamos el perímetro. Se puede encontrar aplicando la fórmula P \u003d a + b + c, donde a y b son lados iguales, y c es la base. Recuerde que en un triángulo isósceles a \u003d b \u003d a, por lo tanto, a + b \u003d 2a, luego P \u003d 2a + c. Por ejemplo, el lado de un triángulo isósceles mide 4 cm, encuentra su base y perímetro. Calculamos el valor de la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Ahora calculamos el perímetro Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Cómo encontrar las esquinas de un polígono regular
Polígono regularocurre en nuestras vidas todos los días, por ejemplo, un cuadrado ordinario, un triángulo, un octágono. Parecería que no hay nada más fácil que construir esta figura usted mismo. Pero esto es solo a primera vista. Para construir cualquier n-ágono, necesitas saber el valor de sus ángulos. Pero cómo los encuentras? Incluso los científicos de la antigüedad intentaron construir polígonos regulares. Supusieron encajarlos en círculos. Y luego se marcaron los puntos necesarios, conectados por líneas rectas. Para figuras simples, el problema de construcción ha sido resuelto. Se han obtenido fórmulas y teoremas. Por ejemplo, Euclides en su famoso trabajo "El comienzo" se comprometió a resolver problemas de 3, 4, 5, 6 y 15 gons. Encontró maneras de construirlos y encontrar ángulos. Veamos cómo hacer esto para un 15-gon. Primero necesitas calcular la suma de sus ángulos internos. Es necesario utilizar la fórmula S=180⁰(n-2). Entonces, tenemos un 15-gon, lo que significa que el número n es 15. Sustituimos los datos que conocemos en la fórmula y obtenemos S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Hemos encontrado la suma de todos los ángulos interiores de un 15-ágono. Ahora necesitamos obtener el valor de cada uno de ellos. Hay 15 ángulos en total, hacemos el cálculo 2340⁰: 15=156⁰. Esto significa que cada ángulo interno es 156⁰, ahora usando una regla y un compás, puedes construir un 15-ágono regular. Pero, ¿qué pasa con los n-ágonos más complejos? Durante siglos, los científicos han luchado para resolver este problema. Solo fue encontrado en el siglo XVIII por Carl Friedrich Gauss. Pudo construir un 65537-gon. Desde entonces, el problema se considera oficialmente resuelto por completo.
Cálculo de ángulos de n-ágonosen radianes
Por supuesto, hay varias formas de encontrar las esquinas de los polígonos. La mayoría de las veces se calculan en grados. Pero también puedes expresarlos en radianes. ¿Cómo hacerlo? Es necesario proceder de la siguiente manera. Primero, encontramos el número de lados de un polígono regular, luego le restamos 2. Entonces, obtenemos el valor: n - 2. Multiplique la diferencia encontrada por el número n ("pi"=3, 14). Ahora solo queda dividir el producto resultante por el número de ángulos en el n-ágono. Considere estos cálculos usando el ejemplo de los mismos quince lados. Entonces, el número n es 15. Aplica la fórmula S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Esto, por supuesto, no es la única manera de calcular el ángulo en radianes. Simplemente puede dividir el tamaño del ángulo en grados por el número 57, 3. Después de todo, esa cantidad de grados equivale a un radián.
Calcular el valor de los ángulos en grados
Además de grados y radianes, puedes intentar encontrar el valor de los ángulos de un polígono regular en grados centesimales. Esto se hace de la siguiente manera. Resta 2 del número total de ángulos, divide la diferencia resultante por el número de lados de un polígono regular. Multiplicamos el resultado encontrado por 200. Por cierto, una unidad de medida de ángulos como el granizo prácticamente no se usa.
Cálculo de ángulos externos de n-ágonos
Para cualquier polígono regular, excepto el interno, también puedes calcular el ángulo externo. Su valor se encuentra de la misma manera que para otras figuras. Entonces, para encontrar el ángulo exterior de un polígono regular, necesitasconocer el significado de lo interior. Además, sabemos que la suma de estos dos ángulos es siempre 180 grados. Por lo tanto, hacemos los cálculos de la siguiente manera: 180⁰ menos el valor del ángulo interno. Encontramos la diferencia. Será igual al valor del ángulo adyacente a él. Por ejemplo, la esquina interior de un cuadrado mide 90 grados, por lo que el ángulo exterior será 180⁰ - 90⁰=90⁰. Como vemos, no es difícil encontrarlo. El ángulo externo puede tomar un valor de +180⁰ a -180⁰, respectivamente.
