El triángulo es la figura más simple cerrada en el plano, que consta de solo tres segmentos interconectados. En problemas de geometría, a menudo es necesario determinar el área de esta figura. ¿Qué necesitas saber para esto? En el artículo responderemos a la pregunta de cómo encontrar el área de un triángulo en tres lados.
Fórmula general
Todo estudiante sabe que el área de un triángulo se calcula como el producto de la longitud de cualquiera de sus lados - a por la mitad de la altura - h, bajada al lado elegido. A continuación se muestra la fórmula correspondiente: S=ah/2.
Esta expresión se puede usar si se conocen al menos dos lados y el valor del ángulo entre ellos. En este caso, la altura h es fácil de calcular usando funciones trigonométricas, como el seno. Pero no todo el mundo sabe cómo encontrar el área de los tres lados de un triángulo.
Fórmula de Heron
Esta fórmula es la respuesta a la pregunta de cómotres lados hallar el area del triangulo. Antes de escribirlo, denotemos las longitudes de los segmentos de una figura arbitraria como a, b y c. La fórmula de Heron se escribe de la siguiente manera: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Donde p es el medio perímetro de la figura, es decir: p=(a+b+c)/2.
A pesar de la aparente incomodidad, la expresión anterior para el área S es fácil de recordar. Para hacer esto, primero debe calcular el semiperímetro del triángulo, luego restarle una longitud del lado de la figura, multiplicar todas las diferencias obtenidas y el semiperímetro en sí. Finalmente, saca la raíz cuadrada del producto.
Esta fórmula lleva el nombre de Garza de Alejandría, que vivió a principios de nuestra era. La historia moderna cree que fue este filósofo quien primero aplicó esta expresión para realizar los cálculos correspondientes. Esta fórmula está publicada en su Métrica, que data del año 60 d. C. Nótese que algunas de las obras de Arquímedes, que vivió dos siglos antes que Herón, contienen indicios de que el filósofo griego ya conocía la fórmula. Además, los antiguos chinos también sabían cómo encontrar el área de un triángulo, conociendo tres lados.
Es importante señalar que el problema se puede resolver sin conocer la existencia de la fórmula de Heron. Para ello, dibuja un par de alturas en el triángulo y usa la fórmula general del párrafo anterior, compilando el sistema de ecuaciones apropiado.
La expresión de Heron se puede utilizar para calcular las áreas de polígonos arbitrarios, después de dividirlos entriángulos y calculando las longitudes de las diagonales resultantes.
Ejemplo de resolución de problemas
Sabiendo cómo encontrar el área de un triángulo en tres lados, consolidemos nuestro conocimiento resolviendo el siguiente problema. Sean los lados de la figura 5 cm, 4 cm y 3 cm Halla el área.
Se conocen los tres lados de un triángulo, así que puedes usar la fórmula de Heron. Calculamos el semiperímetro y las diferencias necesarias, tenemos:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- pa=1cm;
- p-a=2cm;
- p-c=3 cm.
Entonces obtenemos el área: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
El triángulo dado en la condición del problema es rectángulo, lo cual es fácil de verificar si usas el teorema de Pitágoras. Como el área de dicho triángulo es la mitad del producto de los catetos, obtenemos: S=43/2=6 cm2.
El valor resultante es el mismo que para la fórmula de Heron, lo que confirma la validez de esta última.
