El triángulo es una de las formas geométricas más comunes, con la que ya estamos familiarizados en la escuela primaria. Todos los estudiantes en las lecciones de geometría enfrentan la pregunta de cómo encontrar el área de un triángulo. Entonces, ¿cuáles son las características de encontrar el área de una figura dada que se puede distinguir? En este artículo, consideraremos las fórmulas básicas necesarias para completar dicha tarea, así como también analizaremos los tipos de triángulos.
Tipos de triángulos
Puedes encontrar el área de un triángulo de formas completamente diferentes, porque en geometría hay más de un tipo de figura que contiene tres ángulos. Estas especies incluyen:
- Triángulo agudo.
- Obt-ángulo.
- Equilátero (correcto).
- Triángulo rectángulo.
- Isósceles.
Echemos un vistazo más de cerca a cada uno de los tipos de triángulos existentes.
Agudotriángulo
Esta figura geométrica se considera la más común para resolver problemas geométricos. Cuando es necesario dibujar un triángulo arbitrario, esta opción viene al rescate.
En un triángulo agudo, como su nombre lo indica, todos los ángulos son agudos y suman 180°.
Triángulo obt-ángulo
Este triángulo también es muy común, pero algo menos común que el de ángulo agudo. Por ejemplo, cuando resuelves triángulos (es decir, conoces varios de sus lados y ángulos y necesitas encontrar los elementos restantes), a veces necesitas determinar si el ángulo es obtuso o no. El coseno de un ángulo obtuso es un número negativo.
En un triángulo obtusángulo, el valor de uno de los ángulos supera los 90°, por lo que los dos ángulos restantes pueden tomar valores pequeños (por ejemplo, 15° o incluso 3°).
Para encontrar el área de un triángulo de este tipo, necesitas conocer algunos matices, de los que hablaremos más adelante.
Triángulos regulares e isósceles
Un polígono regular es una figura que incluye n ángulos y todos los lados y ángulos son iguales. Este es el triángulo rectángulo. Como la suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°, cada uno de los tres ángulos es 60°.
Un triángulo regular, debido a su propiedad, también se llama figura equilátera.
También vale la pena señalar que enun triángulo regular solo se puede inscribir con un círculo y solo se puede circunscribir un círculo a su alrededor, y sus centros están ubicados en un punto.
Además del tipo equilátero, también se puede seleccionar un triángulo isósceles, que difiere ligeramente de él. En tal triángulo, dos lados y dos ángulos son iguales entre sí, y el tercer lado (al que se unen los ángulos iguales) es la base.
La figura muestra un triángulo isósceles DEF, cuyos ángulos D y F son iguales, y DF es la base.
Triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo se llama así porque uno de sus ángulos es recto, es decir, igual a 90°. Los otros dos ángulos suman 90°.
El lado mayor de dicho triángulo, opuesto al ángulo de 90°, es la hipotenusa, mientras que los otros dos lados son los catetos. Para este tipo de triángulos se aplica el teorema de Pitágoras:
La suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
La figura muestra un triángulo rectángulo BAC con hipotenusa AC y catetos AB y BC.
Para encontrar el área de un triángulo con un ángulo recto, necesitas saber los valores numéricos de sus catetos.
Pasemos a las fórmulas para encontrar el área de esta figura.
Fórmulas básicas del área
En geometría, hay dos fórmulas que son adecuadas para encontrar el área de la mayoría de los tipos de triángulos, a saber, para ángulo agudo, ángulo obtuso, regular ytriángulos isósceles. Analicemos cada uno de ellos.
Por lado y altura
Esta fórmula es universal para encontrar el área de la figura que estamos considerando. Para hacer esto, basta con conocer la longitud del lado y la longitud de la altura dibujada hacia él. La fórmula en sí (la mitad del producto de la base y la altura) se ve así:
S=½AH, donde A es el lado del triángulo dado y H es la altura del triángulo.
Por ejemplo, para encontrar el área de un triángulo acutángulo ACB, debes multiplicar su lado AB por la altura CD y dividir el valor resultante por dos.
Sin embargo, no siempre es fácil encontrar el área de un triángulo de esta manera. Por ejemplo, para usar esta fórmula para un triángulo obtusángulo, debe continuar uno de sus lados y solo después dibujarle una altura.
En la práctica, esta fórmula se usa con más frecuencia que otras.
En dos lados y una esquina
Esta fórmula, como la anterior, es adecuada para la mayoría de los triángulos y en su significado es una consecuencia de la fórmula para encontrar el área por el lado y la altura de un triángulo. Es decir, la fórmula en consideración puede derivarse fácilmente de la anterior. Su redacción se ve así:
S=½senOAB, donde A y B son lados de un triángulo y O es el ángulo entre los lados A y B.
Recuerde que el seno de un ángulo se puede ver en una tabla especial que lleva el nombre del destacado matemático soviético V. M. Bradis.
Y ahora pasemos a otras fórmulas,adecuado solo para tipos excepcionales de triángulos.
Área de un triángulo rectángulo
Además de la fórmula universal, que incluye la necesidad de dibujar una altura en un triángulo, el área de un triángulo que contiene un ángulo recto se puede encontrar por sus catetos.
Así, el área de un triángulo que contiene un ángulo recto es la mitad del producto de sus catetos, o sea:
S=½ab, donde a y b son los catetos de un triángulo rectángulo.
Triángulo regular
Este tipo de figuras geométricas se diferencia en que su área se puede encontrar con el valor especificado de solo uno de sus lados (ya que todos los lados de un triángulo regular son iguales). Entonces, habiendo cumplido con la tarea de "encontrar el área de un triángulo cuando los lados son iguales", debe usar la siguiente fórmula:
S=A2√3 / 4, donde A es el lado de un triángulo equilátero.
Fórmula de Heron
La última opción para encontrar el área de un triángulo es la fórmula de Heron. Para usarlo, necesitas saber las longitudes de los tres lados de la figura. La fórmula de Heron se ve así:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), donde a, b y c son los lados de este triángulo.
A veces la tarea asignada: "el área de un triángulo regular: encuentra la longitud de su lado". En este caso, debe usar la fórmula ya conocida para encontrar el área de un triángulo regular y derivar el valor del lado (o su cuadrado):
A2=4S / √3.
Problemas de examen
En tareas GIAHay muchas fórmulas en matemáticas. Además, a menudo es necesario encontrar el área de un triángulo en papel cuadriculado.
En este caso, lo más conveniente es dibujar la altura a uno de los lados de la figura, determinar su longitud por celdas y utilizar la fórmula universal para hallar el área:
S=½AH.
Entonces, después de estudiar las fórmulas presentadas en el artículo, no tendrás problemas para encontrar el área de un triángulo de cualquier tipo.
