Estas formas geométricas nos rodean por todas partes. Los polígonos convexos pueden ser naturales, como un panal, o artificiales (hechos por el hombre). Estas figuras se utilizan en la producción de varios tipos de revestimientos, en pintura, arquitectura, decoración, etc. Los polígonos convexos tienen la propiedad de que todos sus puntos están del mismo lado de una recta que pasa por un par de vértices contiguos de esta figura geométrica. Hay otras definiciones también. Un polígono se dice convexo si se encuentra en un único semiplano con respecto a cualquier recta que contenga uno de sus lados.
Polígonos convexos
En el curso de la geometría elemental, solo se consideran siempre los polígonos simples. Para entender todas las propiedades de talformas geométricas, es necesario comprender su naturaleza. Para empezar, debe entenderse que cualquier línea se llama cerrada, cuyos extremos coinciden. Además, la figura formada por él puede tener una variedad de configuraciones. Un polígono es una línea discontinua cerrada simple, en la que los enlaces vecinos no se encuentran en la misma línea recta. Sus enlaces y vértices son, respectivamente, los lados y vértices de esta figura geométrica. Una polilínea simple no debe tener autointersecciones.
Los vértices de un polígono se llaman adyacentes si representan los extremos de uno de sus lados. Una figura geométrica que tiene el n-ésimo número de vértices y, por lo tanto, el n-ésimo número de lados, se llama n-ágono. La línea quebrada en sí se llama borde o contorno de esta figura geométrica. Un plano poligonal o un polígono plano se llama la parte final de cualquier plano limitado por él. Los lados adyacentes de esta figura geométrica se denominan segmentos de una línea quebrada que parte de un vértice. No serán adyacentes si proceden de vértices diferentes del polígono.
Otras definiciones de polígonos convexos
En geometría elemental, hay varias definiciones equivalentes más que indican qué polígono se llama convexo. Todas estas afirmaciones son igualmente ciertas. Un polígono se considera convexo si:
• cada segmento que conecta dos puntos dentro de él se encuentra completamente dentro de él;
• dentrotodas sus diagonales mienten;
• cualquier ángulo interno no excede los 180°.
Un polígono siempre divide un plano en 2 partes. Uno de ellos es limitado (se puede encerrar en un círculo) y el otro es ilimitado. La primera se llama región interior y la segunda es la región exterior de esta figura geométrica. Este polígono es una intersección (en otras palabras, un componente común) de varios semiplanos. Además, cada segmento que termina en puntos que pertenecen al polígono pertenece completamente a él.
Variedades de polígonos convexos
La definición de un polígono convexo no indica que haya muchas clases de ellos. Y cada uno de ellos tiene ciertos criterios. Entonces, los polígonos convexos que tienen un ángulo interior de 180° se llaman débilmente convexos. Una figura geométrica convexa que tiene tres vértices se llama triángulo, cuatro - un cuadrilátero, cinco - un pentágono, etc. Cada uno de los n-ágonos convexos cumple el siguiente requisito esencial: n debe ser igual o mayor que 3. Cada uno de los triángulos es convexo. Una figura geométrica de este tipo, en la que todos los vértices están situados en una misma circunferencia, se denomina inscrita en una circunferencia. Un polígono convexo se llama circunscrito si todos sus lados cercanos al círculo lo tocan. Se dice que dos polígonos son iguales solo si se pueden superponer por superposición. Un polígono plano se llama plano poligonal.(parte del plano), que está limitada por esta figura geométrica.
Polígonos regulares convexos
Los polígonos regulares son formas geométricas con ángulos y lados iguales. En su interior hay un punto 0, que está a la misma distancia de cada uno de sus vértices. Se llama el centro de esta figura geométrica. Los segmentos que unen el centro con los vértices de esta figura geométrica se llaman apotemas, y los que unen el punto 0 con los lados se llaman radios.
Un cuadrilátero regular es un cuadrado. Un triángulo equilátero se llama triángulo equilátero. Para tales figuras, existe la siguiente regla: cada esquina de un polígono convexo es 180°(n-2)/ n, donde n es el número de vértices de esta figura geométrica convexa.
El área de cualquier polígono regular se determina mediante la fórmula:
S=pagh, donde p es la mitad de la suma de todos los lados del polígono dado y h es la longitud de la apotema.
Propiedades de los polígonos convexos
Los polígonos convexos tienen ciertas propiedades. Entonces, un segmento que conecta 2 puntos cualesquiera de tal figura geométrica se ubica necesariamente en él. Prueba:
Suponga que P es un polígono convexo dado. Tomamos 2 puntos arbitrarios, por ejemplo, A, B, que pertenecen a P. De acuerdo con la definición existente de un polígono convexo, estos puntos están ubicados en el mismo lado de la línea, que contiene cualquier lado de P. Por tanto, AB también tiene esta propiedad y está contenido en P. Un polígono convexo siempre se puede dividir en varios triángulos por absolutamente todas las diagonales trazadas desde uno de sus vértices.
Ángulos de formas geométricas convexas
Los vértices de un polígono convexo son los vértices formados por sus lados. Las esquinas internas están ubicadas en la región interna de una figura geométrica dada. El ángulo que forman sus lados que convergen en un vértice se llama ángulo de un polígono convexo. Los ángulos adyacentes a los ángulos internos de una figura geométrica dada se llaman externos. Cada esquina de un polígono convexo ubicado en su interior es:
180° - x, donde x es el valor del ángulo exterior. Esta sencilla fórmula funciona para cualquier forma geométrica de este tipo.
En general, para las esquinas externas existe la siguiente regla: cada ángulo de un polígono convexo es igual a la diferencia entre 180° y el valor del ángulo interno. Puede tener valores que van desde -180° a 180°. Por lo tanto, cuando el ángulo interior es de 120°, el ángulo exterior será de 60°.
Suma de ángulos de polígonos convexos
La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo se establece mediante la fórmula:
180°(n-2), donde n es el número de vértices del n-ágono.
La suma de los ángulos de un polígono convexo es muy fácil de calcular. Considere cualquier figura geométrica de este tipo. Para determinar la suma de los ángulos dentro de un polígono convexo, es necesarioconecta uno de sus vértices con otros vértices. Como resultado de esta acción, se obtienen (n-2) triángulos. Sabemos que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre 180°. Como su número en cualquier polígono es (n-2), la suma de los ángulos interiores de dicha figura es 180° x (n-2).
La suma de los ángulos de un polígono convexo, es decir, dos ángulos internos y externos adyacentes, para una figura geométrica convexa dada siempre será igual a 180°. Con base en esto, puedes determinar la suma de todos sus ángulos:
180 x n.
La suma de los ángulos interiores es 180°(n-2). En base a esto, la suma de todas las esquinas externas de esta figura se establece mediante la fórmula:
180°n-180°-(n-2)=360°.
La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono convexo siempre será 360° (independientemente del número de lados).
El ángulo exterior de un polígono convexo generalmente se representa por la diferencia entre 180° y el valor del ángulo interior.
Otras propiedades de un polígono convexo
Además de las propiedades básicas de estas formas geométricas, tienen otras que surgen al manipularlas. Entonces, cualquiera de los polígonos se puede dividir en varios n-ágonos convexos. Para ello, es necesario continuar cada uno de sus lados y cortar esta figura geométrica a lo largo de estas líneas rectas. También es posible dividir cualquier polígono en varias partes convexas de forma que los vértices de cada una de las partes coincidan con todos sus vértices. A partir de una figura geométrica de este tipo, se pueden hacer triángulos de manera muy simple dibujando todosdiagonales desde un vértice. Por lo tanto, cualquier polígono puede eventualmente dividirse en un cierto número de triángulos, lo que resulta muy útil para resolver varios problemas asociados con tales formas geométricas.
Perímetro de un polígono convexo
Los segmentos de una línea quebrada, llamados lados de un polígono, generalmente se indican con las siguientes letras: ab, bc, cd, de, ea. Estos son los lados de una figura geométrica con vértices a, b, c, d, e. La suma de las longitudes de todos los lados de este polígono convexo se llama su perímetro.
Circunferencia del polígono
Los polígonos convexos se pueden inscribir y circunscribir. Un círculo que toca todos los lados de esta figura geométrica se llama inscrito en ella. Tal polígono se llama circunscrito. El centro de un círculo que está inscrito en un polígono es el punto de intersección de las bisectrices de todos los ángulos dentro de una figura geométrica dada. El área de tal polígono es:
S=pr, donde r es el radio de la circunferencia inscrita y p es el semiperímetro del polígono dado.
Un círculo que contiene los vértices de un polígono se llama circunscrito alrededor de él. Además, esta figura geométrica convexa se llama inscrita. El centro del círculo, que está circunscrito a dicho polígono, es el punto de intersección de las llamadas bisectrices perpendiculares de todos los lados.
Diagonales de formas geométricas convexas
Las diagonales de un polígono convexo son segmentos queconectar vértices no adyacentes. Cada uno de ellos se encuentra dentro de esta figura geométrica. El número de diagonales de dicho n-ágono se establece mediante la fórmula:
N=n (n – 3)/ 2.
El número de diagonales de un polígono convexo juega un papel importante en la geometría elemental. El número de triángulos (K) en que es posible dividir cada polígono convexo se calcula mediante la siguiente fórmula:
K=n – 2.
El número de diagonales de un polígono convexo siempre depende del número de sus vértices.
Descomposición de un polígono convexo
En algunos casos, para resolver problemas geométricos, es necesario dividir un polígono convexo en varios triángulos con diagonales que no se intersecan. Este problema se puede resolver derivando una fórmula específica.
Definición del problema: llamemos a una partición propia de un n-ágono convexo en varios triángulos por diagonales que se cortan solo en los vértices de esta figura geométrica.
Solución: Supongamos que Р1, Р2, Р3 …, Pn son vértices de este n-ágono. El número Xn es el número de sus particiones. Consideremos cuidadosamente la diagonal obtenida de la figura geométrica Pi Pn. En cualquiera de las particiones regulares P1 Pn pertenece a cierto triángulo P1 Pi Pn, que tiene 1<i<n. Partiendo de esto y suponiendo que i=2, 3, 4 …, n-1, obtenemos (n-2) grupos de estas particiones, que incluyen todos los casos particulares posibles.
Sea i=2 un grupo de particiones regulares, siempre conteniendo la diagonal Р2 Pn. El número de particiones que entran es el mismo que el número de particiones(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. En otras palabras, es igual a Xn-1.
Si i=3, entonces este otro grupo de particiones siempre contendrá las diagonales Р3 Р1 y Р3 Pn. En este caso, el número de particiones regulares que contiene este grupo coincidirá con el número de particiones del (n-2)-gon P3 P4 … Pn. En otras palabras, será igual a Xn-2.
Sea i=4, entonces entre los triángulos una partición regular ciertamente contendrá un triángulo P1 P4 Pn, al cual se unirá el cuadrilátero P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn. El número de particiones regulares de tal cuadrilátero es X4, y el número de particiones de un (n-3)-gon es Xn-3. Con base en lo anterior, podemos decir que el número total de particiones correctas contenidas en este grupo es Xn-3 X4. Otros grupos con i=4, 5, 6, 7… contendrán Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7… particiones regulares.
Sea i=n-2, entonces el número de divisiones correctas en este grupo será el mismo que el número de divisiones en el grupo donde i=2 (en otras palabras, es igual a Xn-1).
Como X1=X2=0, X3=1, X4=2…, entonces el número de todas las particiones de un polígono convexo es:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Ejemplo:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Número de particiones correctas que intersectan una diagonal interior
Al comprobar casos especiales, se puede llegar ala suposición de que el número de diagonales de n-ágonos convexos es igual al producto de todas las particiones de esta figura por (n-3).
Prueba de esta suposición: imagina que P1n=Xn(n-3), entonces cualquier n-ágono se puede dividir en (n-2)-triángulos. Además, un cuadrilátero (n-3) puede estar compuesto por ellos. Junto con esto, cada cuadrilátero tendrá una diagonal. Dado que se pueden dibujar dos diagonales en esta figura geométrica convexa, esto significa que se pueden dibujar diagonales adicionales (n-3) en cualquier cuadrilátero (n-3). Con base en esto, podemos concluir que en cualquier partición regular es posible dibujar (n-3)-diagonales que cumplan las condiciones de este problema.
Área de polígonos convexos
A menudo, al resolver varios problemas de geometría elemental, se hace necesario determinar el área de un polígono convexo. Suponga que (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n es la secuencia de coordenadas de todos los vértices vecinos de un polígono que no tiene autointersecciones. En este caso, su área se calcula mediante la siguiente fórmula:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), donde (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
