En matemáticas, existe el concepto de "conjunto", así como ejemplos de comparación de estos mismos conjuntos entre sí. Los nombres de los tipos de comparación de conjuntos son las siguientes palabras: biyección, inyección, sobreyección. Cada uno de ellos se describe con más detalle a continuación.
Una biyección es… ¿qué es?
Un grupo de elementos del primer conjunto se empareja con el segundo grupo de elementos del segundo conjunto de esta forma: cada elemento del primer grupo se empareja directamente con otro elemento del segundo grupo, y allí no hay situación con escasez o enumeración de elementos de cualquiera o de dos grupos de conjuntos.
Formulación de las principales propiedades:
- Un elemento a uno.
- No hay elementos adicionales al hacer coincidir y se conserva la primera propiedad.
- Es posible invertir el mapeo manteniendo la vista general.
- Una biyección es una función que es tanto inyectiva como sobreyectiva.
Biyección desde el punto de vista científico
Las funciones biyectivas son exactamente isomorfismos en la categoría "conjunto y conjunto de funciones". Sin embargo, las biyecciones no siempre son isomorfismos para categorías más complejas. Por ejemplo, en una determinada categoría de grupos, los morfismos deben ser homomorfismos, ya que deben conservar la estructura del grupo. Por lo tanto, los isomorfismos son isomorfismos de grupo, que son homomorfismos biyectivos.
El concepto de "correspondencia uno a uno" se generaliza a funciones parciales, donde se les llama biyecciones parciales, aunque una biyección parcial es lo que debería ser una inyección. La razón de esta relajación es que la función parcial (propia) ya no está definida para parte de su dominio. Por lo tanto, no hay una buena razón para limitar su función inversa a una función completa, es decir, definida en todas partes de su dominio. El conjunto de todas las biyecciones parciales a un conjunto base dado se denomina semigrupo inverso simétrico.
Otra forma de definir el mismo concepto: cabe decir que una biyección parcial de conjuntos de A a B es cualquier relación R (función parcial) con la propiedad de que R es una biyección f:A'→B 'donde A' es un subconjunto de A y B' es un subconjunto de B.
Cuando una biyección parcial está en el mismo conjunto, a veces se le llama transformación parcial uno a uno. Un ejemplo es la transformada de Möbius recién definida en el plano complejo, no su finalización en el plano complejo extendido.
Inyección
Un grupo de elementos del primer conjunto se empareja con el segundo grupo de elementos del segundo conjunto de esta forma: cada elemento del primer grupo se empareja con otro elemento del segundo, pero no todos se convierten en pares. El número de elementos no apareados depende de la diferencia en el número de estos mismos elementos en cada uno de los conjuntos: si un conjunto consta de treinta y un elementos y el otro tiene siete más, entonces el número de elementos no apareados es siete. Inyección dirigida en el conjunto. La biyección y la inyección son similares, pero nada más que similares.
Sobreyección
Un grupo de elementos del primer conjunto se empareja con el segundo grupo de elementos del segundo conjunto de esta manera: cada elemento de cualquier grupo forma un par, incluso si hay una diferencia entre el número de elementos. De ello se deduce que un elemento de un grupo puede emparejarse con varios elementos de otro grupo.
Ni función biyectiva, ni inyectiva, ni sobreyectiva
Esta es una función de forma biyectiva y sobreyectiva, pero con resto (no apareado)=> inyección. En tal función, existe claramente una conexión entre biyección y sobreyección, ya que incluye directamente estos dos tipos de comparaciones de conjuntos. Por lo tanto, la totalidad de todos los tipos de estas funciones no es una de ellas de forma aislada.
Explicación de todo tipo de funciones
Por ejemplo, al observador le fascina lo siguiente. Hay competiciones de tiro con arco. Cada uno delos participantes quieren dar en el blanco (para facilitar la tarea: no se tiene en cuenta exactamente dónde cae la flecha). Solo tres participantes y tres objetivos: este es el primer sitio (sitio) para el torneo. En las secciones posteriores, se conserva el número de arqueros, pero se cambia el número de objetivos: en el segundo, cuatro objetivos, en el siguiente, también cuatro, y en el cuarto, cinco. Cada participante dispara a cada diana.
- La primera sede del torneo. El primer arquero golpea solo un objetivo. El segundo golpea un solo objetivo. El tercero se repite después de los demás, y todos los arqueros dan en dianas diferentes: las que están frente a ellos. Como resultado, 1 (el primer arquero) dio en el blanco (a), 2 - en (b), 3 - en (c). Se observa la siguiente dependencia: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). La conclusión será el juicio de que tal comparación de conjuntos es una biyección.
- La segunda plataforma del torneo. El primer arquero golpea solo un objetivo. El segundo también golpea a un solo objetivo. El tercero realmente no intenta y repite todo después de los demás, pero la condición es la misma: todos los arqueros alcanzan objetivos diferentes. Pero, como se mencionó anteriormente, ya hay cuatro objetivos en la segunda plataforma. Dependencia: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - elemento no apareado del conjunto. En este caso, la conclusión será el juicio de que tal comparación de conjuntos es una inyección.
- La tercera sede del torneo. El primer arquero golpea solo un objetivo. El segundo golpea solo un objetivo nuevamente. El tercero decide recuperarse y golpea los objetivos tercero y cuarto. Como resultado, la dependencia: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Aquí, la conclusión será el juicio de que tal comparación de conjuntos es una sobreyección.
- La cuarta plataforma del torneo. Con el primero ya está todo claro, acierta en un solo objetivo, en el que pronto no habrá lugar para golpes ya aburridos. Ahora el segundo asume el papel del aún reciente tercero y de nuevo golpea un solo objetivo, repitiendo después del primero. El tercero sigue controlándose y no deja de introducir su flecha en las dianas tercera y cuarta. El quinto, sin embargo, todavía estaba fuera de su control. Entonces, dependencia: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - elemento no apareado del conjunto de objetivos. Conclusión: tal comparación de conjuntos no es una sobreyección, ni una inyección, ni una biyección.
Ahora construir una biyección, inyección o sobreyección no será un problema, así como encontrar diferencias entre ellas.
