Fórmula de volumen del prisma. Volúmenes de figuras regulares cuadrangulares y hexagonales

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 05:23

Prisma es un poliedro o poliedro, que se estudia en el curso escolar de geometría sólida. Una de las propiedades importantes de este poliedro es su volumen. Consideremos en el artículo cómo se puede calcular este valor y también proporcionemos las fórmulas para el volumen de los prismas: cuadrangulares regulares y hexagonales.

Prisma en estereometría

Esta figura se entiende como un poliedro, que consta de dos polígonos idénticos situados en planos paralelos, y de varios paralelogramos. Para ciertos tipos de prismas, los paralelogramos pueden representar cuadriláteros rectangulares o cuadrados. A continuación se muestra un ejemplo del llamado prisma pentagonal.

Para construir una figura como la de arriba, necesitas tomar un pentágono y llevar a cabo su transferencia paralela a una cierta distancia en el espacio. Conectando los lados de dos pentágonos usando paralelogramos, obtenemos el prisma deseado.

Todo prisma consta de caras, vértices y aristas. Los vértices del prismaa diferencia de la pirámide, son iguales, cada uno de ellos se refiere a una de las dos bases. Las caras y aristas son de dos tipos: las que pertenecen a las bases y las que pertenecen a los lados.

Los prismas son de varios tipos (correctos, oblicuos, convexos, rectos, cóncavos). Consideremos más adelante en el artículo mediante qué fórmula se calcula el volumen de un prisma, teniendo en cuenta la forma de la figura.

Expresión general para determinar el volumen de un prisma

Independientemente de a qué tipo pertenezca la figura en estudio, sea recta u oblicua, regular o irregular, existe una expresión universal que permite determinar su volumen. El volumen de una figura espacial es el área del espacio que se encuentra encerrada entre sus caras. La fórmula general para el volumen de un prisma es:

V=S_o × h.

Aquí S_o representa el área de la base. Cabe recordar que estamos hablando de una base, y no de dos. El valor h es la altura. La altura de la figura en estudio se entiende como la distancia entre sus bases idénticas. Si esta distancia coincide con las longitudes de las nervaduras laterales, entonces se habla de un prisma recto. En una figura recta, todos los lados son rectángulos.

Así, si un prisma es oblicuo y tiene un polígono de base irregular, entonces calcular su volumen se vuelve más complicado. Si la figura es recta, entonces el cálculo del volumen se reduce solo a determinar el área de la base S_o.

Determinar el volumen de una figura regular

Regular es cualquier prisma que es recto y tiene una base poligonal con lados y ángulos iguales entre sí. Por ejemplo, tales polígonos regulares son un cuadrado y un triángulo equilátero. Al mismo tiempo, un rombo no es una figura regular, ya que no todos sus ángulos son iguales.

La fórmula para el volumen de un prisma regular se deriva inequívocamente de la expresión general para V, que se escribió en el párrafo anterior del artículo. Antes de proceder a escribir la fórmula correspondiente, es necesario determinar el área de la base correcta. Sin entrar en detalles matemáticos, presentamos la fórmula para determinar el área indicada. Es universal para cualquier n-ágono regular y tiene la siguiente forma:

S=n / 4 × ctg (pi / n) × a².

Como puede ver en la expresión, el área S_n es una función de dos parámetros. Un entero n puede tomar valores desde 3 hasta infinito. El valor a es la longitud del lado del n-ágono.

Para calcular el volumen de una figura, solo es necesario multiplicar el área S por la altura h o por la longitud de la arista lateral b (h=b). Como resultado, llegamos a la siguiente fórmula de trabajo:

V=n / 4 × ctg (pi / n) × a² × h.

Tenga en cuenta que para determinar el volumen de un prisma de un tipo arbitrario, necesita conocer varias cantidades (longitud de los lados de la base, altura, ángulos diédricos de la figura), pero para calcular el valor V de un prisma regular, necesitamos conocer solo dos parámetros lineales, por ejemplo, a y h.

El volumen de un prisma regular cuadrangular

Un prisma cuadrangular se llama paralelepípedo. Si todas sus caras son iguales y son cuadrados, entonces esa figura será un cubo. Todo alumno sabe que el volumen de un paralelepípedo rectangular o cubo se determina multiplicando sus tres lados diferentes (largo, alto y ancho). Este hecho se sigue de la expresión de volumen general escrita para una figura regular:

V=n/4 × ctg (pi / n) × a² × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a²× h=un² × h.

Aquí la cotangente de 45° es igual a 1. Tenga en cuenta que la igualdad de la altura h y la longitud del lado de la base a conduce automáticamente a la fórmula para el volumen de un cubo.

Volumen del prisma regular hexagonal

Ahora aplica la teoría anterior para determinar el volumen de una figura con base hexagonal. Para hacer esto, solo necesita sustituir el valor n=6 en la fórmula:

V=6/4 × ctg (pi / 6) × a² × h=3 × √3/2 × a² × h.

La expresión escrita se puede obtener de forma independiente sin usar la fórmula universal para S. Para hacer esto, debes dividir el hexágono regular en seis triángulos equiláteros. El lado de cada uno de ellos será igual a a. El área de un triángulo corresponde a:

S₃=√3/4 × a².

Multiplicando este valor por el número de triángulos (6) y por la altura, obtenemos la fórmula anterior para el volumen.