En el curso escolar de geometría sólida, una de las figuras más simples que tiene dimensiones distintas de cero a lo largo de tres ejes espaciales es un prisma cuadrangular. Considere en el artículo qué tipo de figura es, en qué elementos consiste y también cómo puede calcular su área de superficie y volumen.
El concepto de un prisma
En geometría, un prisma es una figura espacial, que está formada por dos bases idénticas y superficies laterales que conectan los lados de estas bases. Tenga en cuenta que ambas bases se transforman entre sí mediante la operación de traducción paralela por algún vector. Esta asignación del prisma conduce al hecho de que todos sus lados son siempre paralelogramos.
El número de lados de la base puede ser arbitrario, a partir de tres. Cuando este número tiende a infinito, el prisma se convierte suavemente en un cilindro, ya que su base se convierte en un círculo, y los paralelogramos laterales, conectados, forman una superficie cilíndrica.
Como cualquier poliedro, un prisma se caracteriza porlados (planos que limitan la figura), aristas (segmentos a lo largo de los cuales se cortan dos lados cualesquiera) y vértices (puntos de encuentro de tres lados, para un prisma dos de ellos son laterales y el tercero es la base). Las cantidades de los tres elementos mencionados de la figura están interconectadas por la siguiente expresión:
P=C + B - 2
Aquí P, C y B son el número de aristas, lados y vértices, respectivamente. Esta expresión es la notación matemática del teorema de Euler.
La imagen de arriba muestra dos prismas. En la base de uno de ellos (A) se encuentra un hexágono regular, y los lados laterales son perpendiculares a las bases. La figura B muestra otro prisma. Sus lados ya no son perpendiculares a las bases, y la base es un pentágono regular.
¿Qué es un prisma cuadrangular?
Como se desprende claramente de la descripción anterior, el tipo de prisma está determinado principalmente por el tipo de polígono que forma la base (ambas bases son iguales, por lo que podemos hablar de una de ellas). Si este polígono es un paralelogramo, entonces obtenemos un prisma cuadrangular. Así, todos los lados de este tipo de prisma son paralelogramos. Un prisma cuadrangular tiene su propio nombre: un paralelepípedo.
El número de lados de un paralelepípedo es seis, y cada lado tiene un paralelo similar. Dado que las bases de la caja son dos lados, los cuatro restantes son laterales.
El número de vértices del paralelepípedo es ocho, lo cual es fácil de ver si recordamos que los vértices del prisma se forman únicamente en los vértices de los polígonos base (4x2=8). Aplicando el teorema de Euler, obtenemos el número de aristas:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
De 12 costillas, solo 4 se forman de forma independiente por los lados. Los 8 restantes se encuentran en los planos de las bases de la figura.
Más adelante en el artículo hablaremos solo de prismas cuadrangulares.
Tipos de paralelepípedos
El primer tipo de clasificación son las características del paralelogramo subyacente. Puede verse así:
- regular, cuyos ángulos no son iguales a 90o;
- rectángulo;
- un cuadrado es un cuadrilátero regular.
El segundo tipo de clasificación es el ángulo en el que el lado cruza la base. Dos casos diferentes son posibles aquí:
- este ángulo no es recto, entonces el prisma se llama oblicuo u oblicuo;
- el ángulo es 90o, entonces dicho prisma es rectangular o simplemente recto.
El tercer tipo de clasificación está relacionado con la altura del prisma. Si el prisma es rectangular y la base es un cuadrado o un rectángulo, entonces se llama paralelepípedo. Si hay un cuadrado en la base, el prisma es rectangular y su altura es igual a la longitud del lado del cuadrado, entonces obtenemos la conocida figura del cubo.
Superficie y área del prisma
El conjunto de todos los puntos que se encuentran en dos bases de un prisma(paralelogramos) y en sus lados (cuatro paralelogramos) forman la superficie de la figura. El área de esta superficie se puede calcular calculando el área de la base y este valor para la superficie lateral. Entonces su suma dará el valor deseado. Matemáticamente, esto se escribe de la siguiente manera:
S=2So+ Sb
Aquí So y Sb son el área de la base y la superficie lateral, respectivamente. El número 2 antes de So aparece porque hay dos bases.
Tenga en cuenta que la fórmula escrita es válida para cualquier prisma, y no solo para el área de un prisma cuadrangular.
Es útil recordar que el área de un paralelogramo Sp se calcula mediante la fórmula:
Sp=ah
Donde los símbolos a y h indican la longitud de uno de sus lados y la altura dibujada a este lado, respectivamente.
El área de un prisma rectangular de base cuadrada
En un prisma cuadrangular regular, la base es un cuadrado. Para mayor precisión, denotamos su lado con la letra a. Para calcular el área de un prisma cuadrangular regular, debes saber su altura. Según la definición de esta cantidad, es igual a la longitud de la perpendicular que cae de una base a otra, es decir, igual a la distancia que las separa. Lo denotaremos con la letra h. Dado que todas las caras laterales son perpendiculares a las bases para el tipo de prisma considerado, la altura de un prisma cuadrangular regular será igual a la longitud de su borde lateral.
BLa fórmula general para el área de la superficie de un prisma es de dos términos. El área de la base en este caso es fácil de calcular, es igual a:
So=a2
Para calcular el área de la superficie lateral, argumentamos de la siguiente manera: esta superficie está formada por 4 rectángulos idénticos. Además, los lados de cada uno de ellos son iguales a a y h. Esto significa que el área de Sb será igual a:
Sb=4ah
Tenga en cuenta que el producto 4a es el perímetro de la base cuadrada. Si generalizamos esta expresión al caso de una base arbitraria, entonces para un prisma rectangular la superficie lateral se puede calcular de la siguiente manera:
Sb=Poh
Donde Po es el perímetro de la base.
Volviendo al problema de calcular el área de un prisma cuadrangular regular, podemos escribir la fórmula final:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Área de un paralelepípedo oblicuo
Calcularlo es algo más difícil que para uno rectangular. En este caso, el área de la base de un prisma cuadrangular se calcula utilizando la misma fórmula que para un paralelogramo. Los cambios se refieren a la forma en que se determina el área de la superficie lateral.
Para hacer esto, use la misma fórmula a lo largo del perímetro que se indica en el párrafo anterior. Solo que ahora tendrá multiplicadores ligeramente diferentes. La fórmula general para Sb en el caso de un prisma oblicuo es:
Sb=Psrc
Aquí c es la longitud del borde lateral de la figura. El valor Psr es el perímetro de la rebanada rectangular. Este entorno se construye de la siguiente manera: es necesario cortar todas las caras laterales con un plano para que sea perpendicular a todas ellas. El rectángulo resultante será el corte deseado.
La figura de arriba muestra un ejemplo de una caja oblicua. Su sección rayada forma ángulos rectos con los lados. El perímetro de la sección es Psr. Está formado por cuatro alturas de paralelogramos laterales. Para este prisma cuadrangular, el área de la superficie lateral se calcula utilizando la fórmula anterior.
La longitud de la diagonal de un paralelepípedo
La diagonal de un paralelepípedo es un segmento que une dos vértices que no tienen lados comunes que los formen. Solo hay cuatro diagonales en cualquier prisma cuadrangular. Para un paralelepípedo con un rectángulo en su base, las longitudes de todas las diagonales son iguales entre sí.
La siguiente figura muestra la figura correspondiente. El segmento rojo es su diagonal.
Calcular su longitud es muy sencillo, si recuerdas el teorema de Pitágoras. Cada estudiante puede obtener la fórmula deseada. Tiene la siguiente forma:
D=√(A2+ B2 + C2)
Aquí D es la longitud de la diagonal. Los caracteres restantes son las longitudes de los lados de la caja.
Muchas personas confunden la diagonal de un paralelepípedo con las diagonales de sus lados. A continuación se muestra una imagen donde el colorlos segmentos representan las diagonales de los lados de la figura.
La longitud de cada uno de ellos también está determinada por el teorema de Pitágoras y es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados correspondientes.
Volumen del prisma
Además del área de un prisma cuadrangular regular u otro tipo de prismas, para resolver algunos problemas geométricos también debes conocer su volumen. Este valor para absolutamente cualquier prisma se calcula mediante la siguiente fórmula:
V=Soh
Si el prisma es rectangular, basta con calcular el área de su base y multiplicarla por la longitud de la arista del lado para obtener el volumen de la figura.
Si el prisma es un prisma cuadrangular regular, entonces su volumen será:
V=un2h.
Es fácil ver que esta fórmula se convierte en una expresión para el volumen de un cubo si la longitud del lado h es igual al lado de la base a.
Problema con un paralelepípedo
Para consolidar el material estudiado, resolveremos el siguiente problema: se tiene un paralelepípedo rectangular cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, es necesario calcular su superficie, longitud diagonal y volumen.
Para mayor precisión, supondremos que la base de la figura es un rectángulo con lados de 3 cm y 4 cm, entonces su área es de 12 cm2, y el período es 14 cm Usando la fórmula para el área de la superficie del prisma, obtenemos:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Para determinar la longitud de la diagonal y el volumen de la figura, puedes usar directamente las expresiones anteriores:
D=√(32+42+52)=7.071 cm;
V=345=60cm3.
Problema con un paralelepípedo oblicuo
La siguiente figura muestra un prisma oblicuo. Sus lados son iguales: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Necesitas encontrar el área de superficie de esta figura.
Primero, determinemos el área de la base. La figura muestra que el ángulo agudo es 50o. Entonces su área es:
So=ha=sin(50o)ba
Para determinar el área de la superficie lateral, debes encontrar el perímetro del rectángulo sombreado. Los lados de este rectángulo son asin(45o) y bsin(60o). Entonces el perímetro de este rectángulo es:
Psr=2(asen(45o)+bsen(60o))
La superficie total de esta caja es:
S=2So+ Sb=2(sen(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Sustituimos los datos de la condición del problema por las longitudes de los lados de la figura, obtenemos la respuesta:
S=458, 5496 cm3
Se puede ver a partir de la solución de este problema que las funciones trigonométricas se utilizan para determinar las áreas de figuras oblicuas.
