Leonhard Euler (1707-1783) - famoso matemático suizo y ruso, miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, vivió la mayor parte de su vida en Rusia. El más famoso en análisis matemático, estadística, informática y lógica es el círculo de Euler (diagrama de Euler-Venn), utilizado para indicar el alcance de conceptos y conjuntos de elementos.
John Venn (1834-1923) - Filósofo y lógico inglés, coautor del diagrama de Euler-Venn.
Conceptos compatibles e incompatibles
Bajo el concepto en lógica se entiende una forma de pensamiento que refleja las características esenciales de una clase de objetos homogéneos. Se denotan por una o un grupo de palabras: "mapamundi", "acorde de quinta-séptima dominante", "lunes", etc.
En el caso de que los elementos del ámbito de un concepto pertenezcan total o parcialmente al ámbito de otro, se habla de conceptos compatibles. Sin embargo, si ningún elemento del ámbito de un determinado concepto pertenece al ámbito de otro, tenemos conceptos incompatibles.
A su vez, cada tipo de concepto tiene su propio conjunto de posibles relaciones. Para conceptos compatibles, estos son:
- identidad (equivalencia) de volúmenes;
- cruce (coincidencia parcial)volúmenes;
- subordinación (subordinación).
Para incompatibles:
- subordinación (coordinación);
- opuesto (contraralidad);
- contradicción (contradicción).
Esquemáticamente, las relaciones entre conceptos en lógica generalmente se denotan usando círculos de Euler-Venn.
Relaciones equivalentes
En este caso, los conceptos significan el mismo tema. En consecuencia, los volúmenes de estos conceptos son completamente iguales. Por ejemplo:
A - Sigmund Freud;
B es el fundador del psicoanálisis.
O:
A es un cuadrado;
B es un rectángulo equilátero;
C es un rombo equiángulo.
Se utilizan círculos de Euler completamente coincidentes para la designación.
Intersección (coincidencia parcial)
Esta categoría incluye conceptos que tienen elementos comunes que están relacionados con el cruce. Es decir, el volumen de uno de los conceptos está parcialmente incluido en el volumen del otro:
A - profesor;
B es un amante de la música.
Como se puede ver en este ejemplo, los volúmenes de conceptos coinciden parcialmente: un determinado grupo de profesores puede resultar ser amantes de la música, y viceversa, puede haber representantes de la profesión docente entre los amantes de la música. Una actitud similar se dará en el caso en que el concepto A sea, por ejemplo, un “ciudadano”, y B sea un “conductor”.
Subordinación (subordinación)
Denotado esquemáticamente como círculos de Euler de diferentes escalas. Relacionesentre conceptos en este caso se caracterizan por el hecho de que el concepto subordinado (de menor volumen) está completamente incluido en el subordinado (de mayor volumen). Al mismo tiempo, el concepto subordinado no agota completamente al subordinado.
Por ejemplo:
A - árbol;
B - pino.
El concepto B estará subordinado al concepto A. Dado que el pino pertenece a los árboles, el concepto A en este ejemplo se subordina, "absorbiendo" el alcance del concepto B.
Coordinación (coordinación)
Relación caracteriza dos o más conceptos que se excluyen entre sí, pero que pertenecen a un cierto círculo genérico común. Por ejemplo:
A – clarinete;
B - guitarra;
C - violín;
D es un instrumento musical.
Los conceptos A, B, C no se cruzan entre sí, sin embargo, todos pertenecen a la categoría de instrumentos musicales (el concepto D).
Opuesto (contrario)
Las relaciones opuestas entre conceptos implican que estos conceptos pertenecen al mismo género. Al mismo tiempo, uno de los conceptos tiene ciertas propiedades (características), mientras que el otro las niega, reemplazándolas por otras de naturaleza opuesta. Por lo tanto, estamos tratando con antónimos. Por ejemplo:
A es un enano;
B es un gigante.
Círculo de Euler con relaciones opuestas entre conceptosse divide en tres segmentos, el primero de los cuales corresponde al concepto A, el segundo al concepto B y el tercero a todos los demás conceptos posibles.
Contradicción (contradicción)
En este caso, ambos conceptos son especies del mismo género. Como en el ejemplo anterior, uno de los conceptos indica ciertas cualidades (características), mientras que el otro las niega. Sin embargo, a diferencia de la relación de opuestos, el segundo concepto opuesto no reemplaza las propiedades negadas por otras alternativas. Por ejemplo:
A es una tarea difícil;
B es una tarea fácil (no-A).
Expresando el volumen de conceptos de este tipo, el círculo de Euler se divide en dos partes: el tercer eslabón intermedio en este caso no existe. Así, los conceptos también son antónimos. Al mismo tiempo, uno de ellos (A) se vuelve positivo (afirmando alguna característica), y el segundo (B o no A) se vuelve negativo (negando la característica correspondiente): "papel blanco" - "papel no blanco", " historia nacional” – “historia extranjera”, etc.
Por lo tanto, la proporción de los volúmenes de los conceptos entre sí es una característica clave que define los círculos de Euler.
Relaciones entre conjuntos
También es necesario distinguir entre los conceptos de elementos y conjuntos, cuyo volumen lo muestran los círculos de Euler. El concepto de conjunto se toma prestado de la ciencia matemática y tiene un significado bastante amplio. Los ejemplos en lógica y matemáticas lo muestran como un cierto conjunto de objetos. Los objetos en sí sonelementos de este conjunto. "Muchos son muchos pensados como uno" (Georg Kantor, fundador de la teoría de conjuntos).
Los conjuntos se designan con letras mayúsculas: A, B, C, D… etc., los elementos de los conjuntos se designan con letras minúsculas: a, b, c, d… etc. Ejemplos de un conjunto pueden ser estudiantes que están en un salón de clases, libros en un estante determinado (o, por ejemplo, todos los libros en una biblioteca determinada), páginas en un diario, bayas en un claro del bosque, etc.
A su vez, si un determinado conjunto no contiene un solo elemento, entonces se le llama vacío y se denota con el signo Ø. Por ejemplo, el conjunto de puntos de intersección de rectas paralelas, el conjunto de soluciones de la ecuación x2=-5.
Resolución de problemas
Los círculos de Euler se utilizan activamente para resolver una gran cantidad de problemas. Los ejemplos en lógica demuestran claramente la conexión entre las operaciones lógicas y la teoría de conjuntos. En este caso se utilizan tablas de verdad de conceptos. Por ejemplo, el círculo etiquetado como A representa la región de verdad. Entonces, el área fuera del círculo representará falso. Para determinar el área del diagrama para una operación lógica, debe sombrear las áreas que definen el círculo de Euler, en el que sus valores para los elementos A y B serán verdaderos.
El uso de los círculos de Euler ha encontrado una amplia aplicación práctica en varias industrias. Por ejemplo, en una situación con una elección profesional. Si el sujeto está preocupado por la elección de una futura profesión, puede guiarse por los siguientes criterios:
W – ¿Qué me gusta hacer?
D – ¿Qué estoy haciendo?
P– ¿Cómo puedo ganar buen dinero?
Dibujemos esto como un diagrama: círculos de Euler (ejemplos en lógica - relación de intersección):
El resultado serán aquellas profesiones que estarán en la intersección de los tres círculos.
Los círculos de Euler-Venn ocupan un lugar aparte en las matemáticas (teoría de conjuntos) cuando se calculan combinaciones y propiedades. Los círculos de Euler del conjunto de elementos están encerrados en la imagen de un rectángulo que denota el conjunto universal (U). En lugar de círculos, también se pueden usar otras figuras cerradas, pero la esencia de esto no cambia. Las figuras se cortan entre sí, según las condiciones del problema (en el caso más general). Además, estas cifras deben etiquetarse en consecuencia. Los elementos de los conjuntos considerados pueden ser puntos ubicados dentro de diferentes segmentos del diagrama. En función de ello, puede sombrear áreas específicas, designando así los conjuntos recién formados.
Con estos conjuntos es posible realizar operaciones matemáticas básicas: suma (suma de conjuntos de elementos), resta (diferencia), multiplicación (producto). Además, gracias a los diagramas de Euler-Venn, es posible comparar conjuntos por el número de elementos incluidos en ellos, sin contarlos.
