Matrices: método de Gauss. Cálculo de la matriz de Gauss: ejemplos

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2023-12-17 05:23

Álgebra lineal, que se enseña en las universidades en varias especialidades, combina muchos temas complejos. Algunos de ellos están relacionados con matrices, así como con la solución de sistemas de ecuaciones lineales por los métodos de Gauss y Gauss-Jordan. No todos los estudiantes logran comprender estos temas, algoritmos para resolver varios problemas. Comprendamos juntos las matrices y métodos de Gauss y Gauss-Jordan.

Conceptos básicos

Una matriz en álgebra lineal es un arreglo rectangular de elementos (tabla). A continuación se muestran conjuntos de elementos entre paréntesis. Estas son matrices. Del ejemplo anterior, se puede ver que los elementos en matrices rectangulares no son solo números. La matriz puede constar de funciones matemáticas, símbolos algebraicos.

Para entender algunos conceptos, hagamos una matriz A a partir de los elementos a_ij. Los índices no son solo letras: i es el número de la fila en la tabla, y j es el número de la columna, en el área de la intersección de la cual se encuentra el elementoa_ij. Entonces, vemos que tenemos una matriz de elementos como a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ y así sucesivamente La letra n indica el número de columnas y la letra m indica el número de filas. El símbolo m × n denota la dimensión de la matriz. Este es el concepto que define el número de filas y columnas en una matriz rectangular de elementos.

Opcionalmente, la matriz debe tener varias columnas y filas. Con una dimensión de 1 × n, la matriz de elementos es de una sola fila y con una dimensión de m × 1, es una matriz de una sola columna. Cuando el número de filas y el número de columnas son iguales, la matriz se llama cuadrada. Toda matriz cuadrada tiene un determinante (det A). Este término se refiere al número que se le asigna a la matriz A.

Algunos conceptos más importantes para recordar para resolver con éxito matrices son las diagonales principal y secundaria. La diagonal principal de una matriz es la diagonal que baja a la esquina derecha de la tabla desde la esquina superior izquierda. La diagonal lateral va hacia la esquina derecha hacia arriba desde la esquina izquierda desde abajo.

Vista matricial escalonada

Mira la imagen de abajo. En él verás una matriz y un diagrama. Tratemos primero con la matriz. En álgebra lineal, una matriz de este tipo se denomina matriz escalonada. Tiene una propiedad: si a_ij es el primer elemento distinto de cero en la i-ésima fila, entonces todos los demás elementos de la matriz de abajo y a la izquierda de a_ij , son nulos (es decir, todos aquellos elementos a los que se les puede dar la designación de letra a_kl, donde k>i yl<j).

Ahora considere el diagrama. Refleja la forma escalonada de la matriz. El esquema muestra 3 tipos de celdas. Cada tipo denota ciertos elementos:

celdas vacías - cero elementos de la matriz;
las celdas sombreadas son elementos arbitrarios que pueden ser cero y distintos de cero;
los cuadrados negros son elementos distintos de cero, que se denominan elementos de esquina, "pasos" (en la matriz que se muestra junto a ellos, dichos elementos son los números –1, 5, 3, 8).

Al resolver matrices, a veces el resultado es que la "longitud" del paso es mayor que 1. Esto está permitido. Solo importa la " altura" de los escalones. En una matriz escalonada, este parámetro siempre debe ser igual a uno.

Reducción de matriz a forma escalonada

Cualquier matriz rectangular se puede convertir a una forma escalonada. Esto se hace a través de transformaciones elementales. Incluyen:

reorganizar cadenas;
Sumar otra línea a una línea, si es necesario multiplicar por algún número (también puede realizar una operación de resta).

Consideremos transformaciones elementales para resolver un problema específico. La siguiente figura muestra la matriz A, que debe reducirse a una forma escalonada.

El problema de reducir una matriz a una forma escalonada

Para resolver el problema, seguiremos el algoritmo:

Es conveniente realizar transformaciones sobre una matriz conel primer elemento en la esquina superior izquierda (es decir, el elemento "principal") es 1 o -1. En nuestro caso, el primer elemento en la fila superior es 2, así que intercambiemos la primera y la segunda fila.
Realicemos operaciones de resta, afectando las filas 2, 3 y 4. Deberíamos obtener ceros en la primera columna debajo del elemento "principal". Para lograr este resultado: de los elementos de la línea No. 2, restamos secuencialmente los elementos de la línea No. 1, multiplicados por 2; de los elementos de la línea No. 3 restamos secuencialmente los elementos de la línea No. 1, multiplicados por 4; de los elementos de la línea No. 4 restamos secuencialmente los elementos de la línea No. 1.
A continuación, trabajaremos con una matriz truncada (sin columna 1 y sin fila 1). El nuevo elemento "principal", que se encuentra en la intersección de la segunda columna y la segunda fila, es igual a -1. No hay necesidad de reorganizar las líneas, por lo que reescribimos la primera columna y la primera y segunda fila sin cambios. Realicemos operaciones de resta para obtener ceros en la segunda columna debajo del elemento "principal": de los elementos de la tercera línea restamos secuencialmente los elementos de la segunda línea, multiplicados por 3; resta los elementos de la segunda línea multiplicados por 2 de los elementos de la cuarta línea.
Queda por cambiar la última línea. De sus elementos restamos sucesivamente los elementos de la tercera fila. Por lo tanto, obtuvimos una matriz escalonada.

La reducción de matrices a una forma escalonada se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales (SLE) mediante el método de Gauss. Antes de ver este método, comprendamos algunos de los términos relacionados con SLN.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Las matrices se utilizan en diversas ciencias. Usando tablas de números, puede, por ejemplo, resolver ecuaciones lineales combinadas en un sistema usando el método de Gauss. Primero, familiaricémonos con algunos términos y sus definiciones, y también veamos cómo se forma una matriz a partir de un sistema que combina varias ecuaciones lineales.

SLU – varias ecuaciones algebraicas combinadas con incógnitas a primera potencia y sin términos de producto.

Solución SLE: valores encontrados de incógnitas, en sustitución de las cuales las ecuaciones en el sistema se convierten en identidades.

Un SLE conjunto es un sistema de ecuaciones que tiene al menos una solución.

SLE inconsistente es un sistema de ecuaciones que no tiene soluciones.

¿Cómo se forma una matriz a partir de un sistema que combina ecuaciones lineales? Existen conceptos tales como las matrices principal y extendida del sistema. Para obtener la matriz principal del sistema, es necesario poner en la tabla todos los coeficientes de las incógnitas. La matriz expandida se obtiene sumando una columna de términos libres a la matriz principal (incluye elementos conocidos a los que se equipara cada ecuación del sistema). Puedes entender todo este proceso estudiando la imagen a continuación.

Lo primero que vemos en la imagen es un sistema que incluye ecuaciones lineales. Sus elementos: a_ij – coeficientes numéricos, x_j – valores desconocidos, b_i – términos constantes (donde i=1, 2, …, m y j=1, 2, …, n). El segundo elemento de la imagen es la matriz principal de coeficientes. De cada ecuación, los coeficientes se escriben en una fila. Como resultado, hay tantas filas en la matriz como ecuaciones en el sistema. El número de columnas es igual al mayor número de coeficientes en cualquier ecuación. El tercer elemento de la imagen es una matriz aumentada con una columna de términos libres.

Matrices y sistema de ecuaciones lineales

Información general sobre el método de Gauss

En álgebra lineal, el método de Gauss es la forma clásica de resolver SLE. Lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss, que vivió en los siglos XVIII y XIX. Este es uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. La esencia del método de Gauss es realizar transformaciones elementales en un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Con la ayuda de transformaciones, el SLE se reduce a un sistema equivalente de forma triangular (escalonada), a partir del cual se pueden encontrar todas las variables.

Vale la pena señalar que Carl Friedrich Gauss no es el descubridor del método clásico para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El método fue inventado mucho antes. Su primera descripción se encuentra en la enciclopedia del conocimiento de los antiguos matemáticos chinos, llamada "Matemáticas en 9 libros".

Un ejemplo de resolución del SLE por el método de Gauss

Consideremos la solución de sistemas por el método de Gauss en un ejemplo específico. Trabajaremos con el SLU que se muestra en la imagen.

Algoritmo de resolución:

Reduciremos el sistema a una forma escalonada mediante el movimiento directo del método de Gauss, pero primerocompondremos una matriz expandida de coeficientes numéricos y miembros libres.
Para resolver la matriz utilizando el método gaussiano (es decir, llevarla a una forma escalonada), de los elementos de la segunda y tercera fila, restamos secuencialmente los elementos de la primera fila. Obtenemos ceros en la primera columna debajo del elemento "principal". A continuación, cambiaremos la segunda y la tercera línea en lugares para mayor comodidad. A los elementos de la última fila, suma secuencialmente los elementos de la segunda fila, multiplicados por 3.
Como resultado del cálculo de la matriz por el método de Gauss, obtuvimos una matriz escalonada de elementos. En base a ello, compondremos un nuevo sistema de ecuaciones lineales. Por el curso inverso del método de Gauss, encontramos los valores de los términos desconocidos. Se puede ver en la última ecuación lineal que x₃ es igual a 1. Sustituimos este valor en la segunda línea del sistema. Obtienes la ecuación x₂ – 4=–4. De ello se deduce que x₂ es igual a 0. Sustituye x₂ y x₃ en la primera ecuación del sistema: x1 _{+ 0 +3=2. El término desconocido es -1.}

Respuesta: usando la matriz, el método de Gauss, encontramos los valores de las incógnitas; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Método de Gauss-Jordan

En álgebra lineal también existe el método de Gauss-Jordan. Se considera una modificación del método gaussiano y se utiliza para encontrar la matriz inversa, calcular términos desconocidos de sistemas cuadrados de ecuaciones lineales algebraicas. El método de Gauss-Jordan es conveniente porque permite resolver el SLE en un solo paso (sin el uso de directo e inverso).movimientos).

Comencemos con el término "matriz inversa". Supongamos que tenemos una matriz A. Su inversa será la matriz A^-1, mientras que la condición se cumple necesariamente: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, es decir, el producto de estas matrices es igual a la matriz identidad (los elementos de la diagonal principal de la matriz identidad son unos y los elementos restantes son cero).}

Un matiz importante: en álgebra lineal existe un teorema sobre la existencia de una matriz inversa. Una condición suficiente y necesaria para la existencia de la matriz A^-1 es que la matriz A sea no singular.

Pasos básicos en los que se basa el método de Gauss-Jordan:

Mira la primera fila de una matriz en particular. El método de Gauss-Jordan se puede iniciar si el primer valor no es igual a cero. Si el primer lugar es 0, cambie las filas para que el primer elemento tenga un valor distinto de cero (es deseable que el número esté más cerca de uno).
Dividir todos los elementos de la primera fila por el primer número. Terminarás con una cadena que comienza con uno.
De la segunda línea, resta la primera línea multiplicada por el primer elemento de la segunda línea, es decir, al final obtendrás una línea que comienza desde cero. Haz lo mismo con el resto de las líneas. Divide cada línea por su primer elemento distinto de cero para obtener 1 en diagonal.
Como resultado, obtendrá la matriz triangular superior utilizando el método de Gauss - Jordan. En él, la diagonal principal está representada por unidades. La esquina inferior está llena de ceros, yesquina superior - varios valores.
Desde la penúltima línea, reste la última línea multiplicada por el coeficiente requerido. Debería obtener una cadena con ceros y uno. Para el resto de las líneas, repite la misma acción. Después de todas las transformaciones se obtendrá la matriz identidad.

Un ejemplo de cómo encontrar la matriz inversa utilizando el método de Gauss-Jordan

Para calcular la matriz inversa, debe escribir la matriz aumentada A|E y realizar las transformaciones necesarias. Consideremos un ejemplo simple. La siguiente figura muestra la matriz A.

Solución:

Primero, encontremos el determinante de la matriz usando el método Gaussiano (det A). Si este parámetro no es igual a cero, entonces la matriz se considerará no singular. Esto nos permitirá concluir que A definitivamente tiene A^-1. Para calcular el determinante, transformamos la matriz a una forma escalonada mediante transformaciones elementales. Contemos el número K igual al número de permutaciones de fila. Cambiamos las líneas solo 1 vez. Calculemos el determinante. Su valor será igual al producto de los elementos de la diagonal principal, por (–1)^K. Resultado del cálculo: det A=2.
Componga la matriz aumentada sumando la matriz identidad a la matriz original. La matriz de elementos resultante se utilizará para encontrar la matriz inversa mediante el método de Gauss-Jordan.
El primer elemento de la primera fila es igual a uno. Esto nos conviene, porque no hay necesidad de reorganizar las líneas y dividir la línea dada por algún número. empecemos a trabajarcon la segunda y tercera línea. Para convertir el primer elemento de la segunda fila en 0, resta la primera fila de la segunda fila multiplicada por 3. Resta la primera fila de la tercera fila (no se requiere multiplicación).
En la matriz resultante, el segundo elemento de la segunda fila es -4, y el segundo elemento de la tercera fila es -1. Intercambiemos las líneas por conveniencia. De la tercera fila, reste la segunda fila multiplicada por 4. Divida la segunda fila por -1 y la tercera fila por 2. Obtenemos la matriz triangular superior.
Vamos a restar la última línea multiplicada por 4 de la segunda línea, y la última línea multiplicada por 5 de la primera línea. A continuación, restemos la segunda línea multiplicada por 2 de la primera línea. En el lado izquierdo tenemos la matriz de identidad. A la derecha está la matriz inversa.

Un ejemplo de resolución de SLE por el método de Gauss-Jordan

La figura muestra un sistema de ecuaciones lineales. Se requiere encontrar los valores de variables desconocidas utilizando una matriz, el método de Gauss-Jordan.

Solución:

Vamos a crear una matriz aumentada. Para ello pondremos los coeficientes y términos libres en la tabla.
Resolver la matriz usando el método de Gauss-Jordan. De la línea No. 2 restamos la línea No. 1. De la línea No. 3 restamos la línea No. 1, previamente multiplicada por 2.
Intercambia las filas 2 y 3.
De la línea 3, reste la línea 2 multiplicada por 2. Divida la tercera línea resultante entre –1.
Reste la línea 3 de la línea 2.
Reste la línea 1 de la línea 12 veces -1. Al costado, tenemos una columna que consta de los números 0, 1 y -1. De esto concluimos que x₁=0, x₂=1 y x₃ =–1.

Si lo desea, puede comprobar la corrección de la solución sustituyendo los valores calculados en las ecuaciones:

0 – 1=–1, la primera identidad del sistema es correcta;
0 + 1 + (–1)=0, la segunda identidad del sistema es correcta;
0 – 1 + (–1)=–2, la tercera identidad del sistema es correcta.

Conclusión: utilizando el método de Gauss-Jordan, hemos encontrado la solución correcta a un sistema cuadrático que combina ecuaciones algebraicas lineales.

Calculadoras en línea

La vida de los jóvenes de hoy que estudian en universidades y estudian álgebra lineal se ha simplificado enormemente. Hace unos años, tuvimos que encontrar soluciones a los sistemas usando el método de Gauss y Gauss-Jordan por nuestra cuenta. Algunos estudiantes hicieron frente con éxito a las tareas, mientras que otros se confundieron en la solución, cometieron errores y pidieron ayuda a sus compañeros de clase. Hoy en día, puede usar calculadoras en línea cuando hace la tarea. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, buscar matrices inversas, se han escrito programas que demuestran no solo las respuestas correctas, sino también el progreso de la resolución de un problema en particular.

Hay muchos recursos en Internet con calculadoras en línea integradas. Matrices gaussianas, sistemas de ecuaciones son resueltos por estos programas en pocos segundos. Los estudiantes solo necesitan especificar los parámetros requeridos (por ejemplo, el número de ecuaciones,número de variables).