Matrix es un objeto especial en matemáticas. Se representa en forma de mesa rectangular o cuadrada, compuesta por un cierto número de filas y columnas. En matemáticas, existe una gran variedad de tipos de matrices, que difieren en tamaño o contenido. Los números de sus filas y columnas se llaman órdenes. Estos objetos se utilizan en matemáticas para organizar la escritura de sistemas de ecuaciones lineales y buscar convenientemente sus resultados. Las ecuaciones que usan una matriz se resuelven usando el método de Carl Gauss, Gabriel Cramer, sumas menores y algebraicas, y muchas otras formas. La habilidad básica cuando se trabaja con matrices es llevarlas a una forma estándar. Sin embargo, primero, averigüemos qué tipos de matrices distinguen los matemáticos.
Tipo nulo
Todos los componentes de este tipo de matriz son ceros. Mientras tanto, el número de sus filas y columnas es completamente diferente.
Tipo cuadrado
El número de columnas y filas de este tipo de matriz es el mismo. En otras palabras, es una mesa de forma "cuadrada". El número de sus columnas (o filas) se llama orden. Casos especiales son la existencia de una matriz de segundo orden (matriz 2x2), cuarto orden (4x4), décimo (10x10), decimoséptimo (17x17) y así sucesivamente.
Vector de columna
Este es uno de los tipos de matrices más simples, que contiene solo una columna, que incluye tres valores numéricos. Representa una serie de términos libres (números independientes de variables) en sistemas de ecuaciones lineales.
Vector fila
Vista similar a la anterior. Consta de tres elementos numéricos, a su vez organizados en una línea.
Tipo diagonal
Solo los componentes de la diagonal principal (res altados en verde) toman valores numéricos en la forma diagonal de la matriz. La diagonal principal comienza con el elemento en la esquina superior izquierda y termina con el elemento en la esquina inferior derecha, respectivamente. El resto de los componentes son cero. El tipo diagonal es solo una matriz cuadrada de algún orden. Entre las matrices de la forma diagonal, se puede destacar una escalar. Todos sus componentes toman los mismos valores.
Matriz de identidad
Una subespecie de la matriz diagonal. Todos sus valores numéricos son unidades. Usando un solo tipo de tablas de matrices, realice sus transformaciones básicas o encuentre una matriz inversa a la original.
Tipo canónico
La forma canónica de una matriz es considerada una de las principales; a menudo es necesario fundirlo para que funcione. El número de filas y columnas en la matriz canónica es diferente, no necesariamente pertenece al tipo cuadrado. Es algo similar a la matriz identidad, sin embargo, en su caso, no todos los componentes de la diagonal principal toman un valor igual a uno. Puede haber dos o cuatro unidades diagonales principales (todo depende de la longitud y el ancho de la matriz). O puede que no haya unidades en absoluto (entonces se considera cero). Los componentes restantes del tipo canónico, así como los elementos de la diagonal y la identidad, son iguales a cero.
Tipo de triángulo
Uno de los tipos de matriz más importantes, que se utiliza para buscar su determinante y para realizar operaciones sencillas. El tipo triangular proviene del tipo diagonal, por lo que la matriz también es cuadrada. La vista triangular de la matriz se divide en triangular superior y triangular inferior.
En la matriz triangular superior (Fig. 1), sólo los elementos que están por encima de la diagonal principal toman valor igual a cero. Los componentes de la propia diagonal y la parte de la matriz debajo de ella contienen valores numéricos.
En la matriz triangular inferior (Fig. 2), por el contrario, los elementos ubicados en la parte inferior de la matriz son iguales a cero.
Matriz escalonada
La vista es necesaria para encontrar el rango de una matriz, así como para operaciones elementales sobre ellas (junto con las de tipo triangular). La matriz de pasos se llama así porque contiene "pasos" característicos de ceros (como se muestra en la figura). En el tipo escalonado, se forma una diagonal de ceros (no necesariamente la principal), y todos los elementos debajo de esta diagonal también tienen valores iguales a cero. Un requisito previo es el siguiente: si hay una fila cero en la matriz escalonada, las filas restantes debajo de ella tampoco contienen valores numéricos.
Por lo tanto, hemos considerado los tipos de matrices más importantes necesarios para trabajar con ellas. Ahora tratemos la tarea de convertir una matriz en la forma requerida.
Reducir a forma triangular
¿Cómo llevar la matriz a una forma triangular? La mayoría de las veces, en las tareas, debe convertir una matriz en una forma triangular para encontrar su determinante, también llamado determinante. Al realizar este procedimiento, es sumamente importante "preservar" la diagonal principal de la matriz, porque el determinante de una matriz triangular es exactamente el producto de las componentes de su diagonal principal. Permítame también recordarle métodos alternativos para encontrar el determinante. El determinante de tipo cuadrado se encuentra usando fórmulas especiales. Por ejemplo, puede utilizar el método del triángulo. Para otras matrices se utiliza el método de descomposición por fila, columna o sus elementos. También puedes aplicar el método de los menores y complementos algebraicos de la matriz.
DetallesAnalicemos el proceso de llevar una matriz a una forma triangular usando ejemplos de algunas tareas.
Tarea 1
Es necesario encontrar el determinante de la matriz presentada, usando el método de llevarla a una forma triangular.
La matriz que nos dan es una matriz cuadrada de tercer orden. Por lo tanto, para transformarlo en una forma triangular, necesitamos anular dos componentes de la primera columna y un componente de la segunda.
Para convertirla en una forma triangular, comience la transformación desde la esquina inferior izquierda de la matriz, desde el número 6. Para convertirla en cero, multiplique la primera fila por tres y reste la última fila.
¡Importante! La línea superior no cambia, pero permanece igual que en la matriz original. No necesita escribir una cadena cuatro veces la original. Pero los valores de las cadenas cuyos componentes deben anularse cambian constantemente.
A continuación, tratemos con el siguiente valor: el elemento de la segunda fila de la primera columna, el número 8. Multiplique la primera fila por cuatro y réstela de la segunda fila. Obtenemos cero.
Solo queda el último valor: el elemento de la tercera fila de la segunda columna. Este es el número (-1). Para convertirlo a cero, resta el segundo de la primera línea.
Veamos:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Así que la respuesta a la tarea es -22.
Tarea 2
Necesitamos encontrar el determinante de la matriz llevándola a una forma triangular.
Matriz representadapertenece al tipo cuadrado y es una matriz de cuarto orden. Esto significa que se deben poner a cero tres componentes de la primera columna, dos componentes de la segunda columna y un componente de la tercera columna.
Comencemos su reducción desde el elemento ubicado en la esquina inferior izquierda, desde el número 4. Necesitamos convertir este número a cero. La forma más fácil de hacer esto es multiplicar la fila superior por cuatro y luego restarla de la cuarta fila. Escribamos el resultado de la primera etapa de la transformación.
Entonces, el componente de la cuarta línea se establece en cero. Pasemos al primer elemento de la tercera línea, al número 3. Realizamos una operación similar. Multiplica por tres la primera línea, réstala de la tercera línea y escribe el resultado.
A continuación, vemos el número 2 en la segunda línea. Repetimos la operación: multiplicamos la fila superior por dos y restamos la segunda.
Logramos poner a cero todos los componentes de la primera columna de esta matriz cuadrada, excepto el número 1, el elemento de la diagonal principal que no requiere transformación. Ahora es importante mantener los ceros resultantes, por lo que realizaremos las transformaciones con filas, no con columnas. Pasemos a la segunda columna de la matriz presentada.
Empecemos desde abajo otra vez - desde el elemento de la segunda columna de la última fila. Este es el número (-7). Sin embargo, en este caso, es más conveniente comenzar con el número (-1), el elemento de la segunda columna de la tercera fila. Para convertirlo en cero, resta la segunda fila de la tercera fila. Luego multiplicamos la segunda fila por siete y la restamos de la cuarta. Obtuvimos cero en lugar del elemento ubicado en la cuarta fila de la segunda columna. Ahora pasemos al tercero.columna.
En esta columna, solo necesitamos cambiar a cero un número: 4. Es fácil de hacer: simplemente agregue el tercero a la última línea y vea el cero que necesitamos.
Después de todas las transformaciones, trajimos la matriz propuesta a una forma triangular. Ahora, para encontrar su determinante, solo necesitas multiplicar los elementos resultantes de la diagonal principal. Obtenemos: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Por lo tanto, la solución es el número 160.
Entonces, ahora la cuestión de llevar la matriz a una forma triangular no te lo pondrá difícil.
Reducción a forma escalonada
En operaciones elementales con matrices, la forma escalonada es menos "exigida" que la triangular. Se usa más comúnmente para encontrar el rango de una matriz (es decir, el número de sus filas distintas de cero) o para determinar filas linealmente dependientes e independientes. Sin embargo, la vista de matriz escalonada es más versátil, ya que es adecuada no solo para el tipo cuadrado, sino para todos los demás.
Para reducir una matriz a una forma escalonada, primero debe encontrar su determinante. Para esto, los métodos anteriores son adecuados. El propósito de encontrar el determinante es averiguar si se puede convertir en una matriz escalonada. Si el determinante es mayor o menor que cero, puede continuar con la tarea de manera segura. Si es igual a cero, no funcionará reducir la matriz a una forma escalonada. En este caso, debe verificar si hay errores en el registro o en las transformaciones de la matriz. Si no existen tales imprecisiones, la tarea no se puede resolver.
Veamos cómolleve la matriz a una forma escalonada usando ejemplos de varias tareas.
Tarea 1. Encuentra el rango de la tabla matriz dada.
Ante nosotros se encuentra una matriz cuadrada de tercer orden (3x3). Sabemos que para encontrar el rango, es necesario reducirlo a una forma escalonada. Por lo tanto, primero necesitamos encontrar el determinante de la matriz. Usando el método del triángulo: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinante=12. Es mayor que cero, lo que significa que la matriz se puede reducir a una forma escalonada. Empecemos sus transformaciones.
Empecemos con el elemento de la columna izquierda de la tercera fila - el número 2. Multiplique la fila superior por dos y réstelo de la tercera. Gracias a esta operación, tanto el elemento que necesitamos como el número 4, el elemento de la segunda columna de la tercera fila, se convirtió en cero.
A continuación, cambie a cero el elemento de la segunda fila de la primera columna: el número 3. Para hacer esto, multiplique la fila superior por tres y réstela de la segunda.
Vemos que la reducción resultó en una matriz triangular. En nuestro caso, la transformación no se puede continuar, ya que los componentes restantes no se pueden convertir a cero.
Entonces, concluimos que el número de filas que contienen valores numéricos en esta matriz (o su rango) es 3. Respuesta a la tarea: 3.
Tarea 2. Determinar el número de filas linealmente independientes de esta matriz.
Necesitamos encontrar cadenas que no puedan ser revertidas por ninguna transformacióna cero. De hecho, necesitamos encontrar el número de filas distintas de cero, o el rango de la matriz representada. Para hacer esto, vamos a simplificarlo.
Vemos una matriz que no pertenece al tipo cuadrado. Tiene unas dimensiones de 3x4. También comencemos el lanzamiento desde el elemento de la esquina inferior izquierda: el número (-1).
Agregue la primera línea a la tercera. Luego, réstale el segundo para convertir el número 5 en cero.
Más transformaciones son imposibles. Entonces, concluimos que el número de líneas linealmente independientes y la respuesta a la tarea es 3.
Ahora, llevar la matriz a una forma escalonada no es una tarea imposible para usted.
En los ejemplos de estas tareas, analizamos la reducción de una matriz a una forma triangular y una forma escalonada. Para anular los valores deseados de las tablas de matrices, en algunos casos se requiere mostrar imaginación y transformar correctamente sus columnas o filas. ¡Buena suerte con las matemáticas y trabajando con matrices!
