Las matrices (tablas con elementos numéricos) se pueden utilizar para varios cálculos. Algunos de ellos son la multiplicación por un número, un vector, otra matriz, varias matrices. El producto a veces es incorrecto. Un resultado erróneo es el resultado de la ignorancia de las reglas para realizar acciones computacionales. Averigüemos cómo hacer una multiplicación.
Matriz y número
Comencemos con lo más simple: multiplicar una tabla con números por un valor específico. Por ejemplo, tenemos una matriz A con elementos aij (i son los números de fila y j son los números de columna) y el número e. El producto de la matriz por el número e será la matriz B con los elementos bij, que se encuentran por la fórmula:
bij=e × aij.
T. p.ej. para obtener el elemento b11 necesita tomar el elemento a11 y multiplicarlo por el número deseado, para obtener b12 se requiere encontrar el producto del elemento a12 y el número e, etc.
Resolvamos el problema número 1 presentado en la imagen. Para obtener la matriz B, simplemente multiplique los elementos de A por 3:
- a11 × 3=18. Escribimos este valor en la matriz B en el lugar donde la columna No. 1 y la fila No. 1 se cruzan.
- a21 × 3=15. Tenemos el elemento b21.
- a12 × 3=-6. Recibimos el elemento b12. Lo escribimos en la matriz B en el lugar donde se cruzan la columna 2 y la fila 1.
- a22 × 3=9. Este resultado es el elemento b22.
- a13 × 3=12. Introduzca este número en la matriz en lugar del elemento b13.
- a23 × 3=-3. El último número recibido es el elemento b23.
Así, obtuvimos una matriz rectangular con elementos numéricos.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vectores y la condición de existencia de un producto de matrices
En las disciplinas matemáticas, existe un "vector". Este término se refiere a un conjunto ordenado de valores desde a1 hasta a . Se llaman coordenadas de espacio vectorial y se escriben como una columna. También existe el término "vector transpuesto". Sus componentes están dispuestos como una cadena.
Los vectores pueden llamarse matrices:
- column vector es una matriz construida a partir de una columna;
- vector fila es una matriz que incluye solo una fila.
Cuando haya terminadosobre matrices de operaciones de multiplicación, es importante recordar que existe una condición para la existencia de un producto. La acción de cálculo A × B solo se puede realizar cuando el número de columnas de la tabla A es igual al número de filas de la tabla B. La matriz resultante del cálculo siempre tiene el número de filas de la tabla A y el número de columnas en la tabla B.
Al multiplicar, no se recomienda reorganizar las matrices (multiplicadores). Su producto generalmente no corresponde a la ley conmutativa (desplazamiento) de la multiplicación, es decir, el resultado de la operación A × B no es igual al resultado de la operación B × A. Esta característica se denomina no conmutatividad del producto de matrices. En algunos casos, el resultado de la multiplicación A × B es igual al resultado de la multiplicación B × A, es decir, el producto es conmutativo. Las matrices para las que se cumple la igualdad A × B=B × A se denominan matrices de permutación. Vea ejemplos de dichas tablas a continuación.
Multiplicación por un vector columna
Al multiplicar una matriz por un vector columna, debemos tener en cuenta la condición de existencia del producto. El número de columnas (n) de la tabla debe coincidir con el número de coordenadas que componen el vector. El resultado del cálculo es el vector transformado. Su número de coordenadas es igual al número de líneas (m) de la tabla.
¿Cómo se calculan las coordenadas del vector y si existe una matriz A y un vector x? Para cálculos fórmulas creadas:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
……………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
donde x1, …, x son coordenadas del vector x, m es el número de filas en la matriz y el número de coordenadas en el nuevo vector y, n es el número de columnas en la matriz y el número de coordenadas en el vector x, a11, a12, …, amn– elementos de la matriz A.
Así, para obtener la i-ésima componente del nuevo vector, se realiza el producto escalar. El i-ésimo vector fila se toma de la matriz A y se multiplica por el vector disponible x.
Resolvamos el problema n.º 2. Puedes encontrar el producto de una matriz y un vector porque A tiene 3 columnas yx consta de 3 coordenadas. Como resultado, deberíamos obtener un vector columna con 4 coordenadas. Usemos las fórmulas anteriores:
- Calcular y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). El valor final es 2.
- Calcular y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Al calcular, obtenemos 0.
- Calcular y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). La suma de los productos de los factores indicados es 6.
- Calcular y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). La coordenada es -8.
Multiplicación de matriz vectorial por filas
No se puede multiplicar una matriz con varias columnas por un vector fila. En tales casos, la condición para la existencia de la obra no se cumple. Pero es posible la multiplicación de un vector fila por una matriz. Estela operación computacional se realiza cuando el número de coordenadas en el vector y el número de filas en la tabla coinciden. El resultado del producto de un vector y una matriz es un nuevo vector fila. Su número de coordenadas debe ser igual al número de columnas de la matriz.
Calcular la primera coordenada de un nuevo vector implica multiplicar el vector fila y el primer vector columna de la tabla. La segunda coordenada se calcula de manera similar, pero en lugar del vector de la primera columna, se toma el vector de la segunda columna. Esta es la fórmula general para calcular las coordenadas:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, donde yk es una coordenada del vector y, (k está entre 1 y n), m es el número de filas en la matriz y el número de coordenadas en el vector x, n es el número de columnas en la matriz y el número de coordenadas en el vector y, a con índices alfanuméricos son los elementos de la matriz A.
Producto de matrices rectangulares
Este cálculo puede parecer complicado. Sin embargo, la multiplicación se hace fácilmente. Comencemos con una definición. El producto de una matriz A con m filas y n columnas y una matriz B con n filas y p columnas es una matriz C con m filas y p columnas, en la que el elemento cij es el suma de los productos de los elementos i-th fila de la tabla A y j-th columna de la tabla B. En términos más simples, el elemento cij es el producto escalar de la i-th fila vector de la tabla A y el vector de la j-ésima columna de la tabla B.
Ahora veamos en la práctica cómo encontrar el producto de matrices rectangulares. Resolvamos para esto el problema No. 3. Se cumple la condición para la existencia de un producto. Empecemos a calcular los elementos cij:
- La matriz C tendrá 2 filas y 3 columnas.
- Calcular elemento c11. Para ello, realizamos el producto escalar de la fila No. 1 de la matriz A y la columna No. 1 de la matriz B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Luego procedemos de manera similar, cambiando solo filas, columnas (dependiendo del índice del elemento).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Los elementos están calculados. Ahora solo queda hacer un bloque rectangular de los números recibidos.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Multiplicación de tres matrices: la parte teórica
¿Puedes encontrar el producto de tres matrices? Esta operación computacional es factible. El resultado se puede obtener de varias maneras. Por ejemplo, hay 3 tablas cuadradas (del mismo orden) - A, B y C. Para calcular el producto, puedes:
- Primero multiplica A y B. Luego multiplica el resultado por C.
- Primero encuentra el producto de B y C. Luego multiplica la matriz A por el resultado.
Si necesita multiplicar matrices rectangulares, primero debe asegurarse de que esta operación computacional sea posible. Deberíaexisten los productos A × B y B × C.
La multiplicación incremental no es un error. Existe algo así como "asociatividad de la multiplicación de matrices". Este término se refiere a la igualdad (A × B) × C=A × (B × C).
Práctica de multiplicación de tres matrices
Matrices cuadradas
Comienza multiplicando pequeñas matrices cuadradas. La siguiente figura muestra el problema número 4, que tenemos que resolver.
Usaremos la propiedad de asociatividad. Primero multiplicamos A y B, o B y C. Solo recordamos una cosa: no puedes intercambiar factores, es decir, no puedes multiplicar B × A o C × B. Con esta multiplicación, obtendremos un resultado erróneo.
Progreso de la decisión.
Paso uno. Para encontrar el producto común, primero multiplicamos A por B. Al multiplicar dos matrices, nos guiaremos por las reglas que se describieron anteriormente. Entonces, el resultado de multiplicar A y B será una matriz D con 2 filas y 2 columnas, es decir, una matriz rectangular incluirá 4 elementos. Encontrémoslos haciendo el cálculo:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Resultado intermedio listo.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Paso dos. Ahora multipliquemos la matriz D por la matriz C. El resultado debe ser una matriz cuadrada G con 2 filas y 2 columnas. Calcular elementos:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Así, el resultado del producto de matrices cuadradas es una tabla G con elementos calculados.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Matrices rectangulares
La siguiente figura muestra el problema número 5. Se requiere multiplicar matrices rectangulares y encontrar una solución.
Veamos si se cumple la condición de existencia de los productos A × B y B × C. Los órdenes de las matrices indicadas nos permiten realizar multiplicaciones. Empecemos a resolver el problema.
Progreso de la decisión.
Paso uno. Multiplique B por C para obtener D. La matriz B tiene 3 filas y 4 columnas, y la matriz C tiene 4 filas y 2 columnas. Esto significa que obtendremos una matriz D de 3 filas y 2 columnas. Calculemos los elementos. Aquí hay 2 ejemplos de cálculo:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Seguimos resolviendo el problema. Como resultado de cálculos posteriores, encontramos los valores d21, d2 2, re31 y re32. Estos elementos son 0, 19, 1 y 11 respectivamente. Escribamos los valores encontrados en una matriz rectangular.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Paso dos. Multiplique A por D para obtener la matriz final F. Tendrá 2 filas y 2 columnas. Calcular elementos:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Componga una matriz rectangular, que es el resultado final de multiplicar tres matrices.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Introducción al trabajo directo
Un material bastante difícil de entender es el producto de matrices de Kronecker. También tiene un nombre adicional: un trabajo directo. ¿Qué se entiende por este término? Digamos que tenemos la tabla A de orden m × n y la tabla B de orden p × q. El producto directo de la matriz A y la matriz B es una matriz de orden mp × nq.
Tenemos 2 matrices cuadradas A, B, que se muestran en la imagen. El primero tiene 2 columnas y 2 filas, y el segundo tiene 3 columnas y 3 filas. Vemos que la matriz resultante del producto directo consta de 6 filas y exactamente el mismo número de columnas.
¿Cómo se calculan los elementos de una nueva matriz en un producto directo? Encontrar la respuesta a esta pregunta es muy fácil si analizas la imagen. Primero complete la primera línea. Tome el primer elemento de la fila superior de la tabla A y multiplíquelo secuencialmente por los elementos de la primera filade la tabla B. Luego, tome el segundo elemento de la primera fila de la tabla A y multiplíquelo secuencialmente por los elementos de la primera fila de la tabla B. Para llenar la segunda fila, tome el primer elemento de la primera fila de la tabla A nuevamente y multiplíquelo por los elementos de la segunda fila de la tabla B.
La matriz final obtenida por producto directo se denomina matriz de bloques. Si volvemos a analizar la figura, podemos ver que nuestro resultado consta de 4 bloques. Todos ellos incluyen elementos de la matriz B. Adicionalmente, un elemento de cada bloque se multiplica por un elemento específico de la matriz A. En el primer bloque, todos los elementos se multiplican por a11, en el segundo - por a12, en el tercero - en a21, en el cuarto - en a22.
Determinante del producto
Al considerar el tema de la multiplicación de matrices, vale la pena considerar un término como "el determinante del producto de matrices". ¿Qué es un determinante? Esta es una característica importante de una matriz cuadrada, un cierto valor que se le asigna a esta matriz. La designación literal del determinante es det.
Para una matriz A que consta de dos columnas y dos filas, el determinante es fácil de encontrar. Hay una pequeña fórmula que es la diferencia entre los productos de elementos específicos:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Consideremos un ejemplo de cálculo del determinante para una tabla de segundo orden. Existe una matriz A en la que a11=2, a12=3, a21=5 y a22=1. Para calcular el determinante, utilice la fórmula:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
Para matrices de 3 × 3, el determinante se calcula utilizando una fórmula más compleja. Se presenta a continuación para la matriz A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Para recordar la fórmula, se nos ocurrió la regla del triángulo, que se ilustra en la imagen. Primero se multiplican los elementos de la diagonal principal. Al valor obtenido se le suman los productos de aquellos elementos indicados por los ángulos de los triángulos de lados rojos. A continuación, se resta el producto de los elementos de la diagonal secundaria y se restan los productos de los elementos indicados por las esquinas de los triángulos de lados azules.
Ahora hablemos del determinante del producto de matrices. Hay un teorema que dice que este indicador es igual al producto de los determinantes de las tablas de multiplicar. Verifiquemos esto con un ejemplo. Tenemos la matriz A con entradas a11=2, a12=3, a21=1 y a22=1 y matriz B con entradas b11=4, b12=5, b 21 =1 y b22=2. Encuentra los determinantes de las matrices A y B, el producto A × B y el determinante de este producto.
Progreso de la decisión.
Paso uno. Calcular el determinante de A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. A continuación, calcule el determinante de B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Paso dos. Encontremosproducto A × B. Denota la nueva matriz con la letra C. Calcula sus elementos:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Paso tres. Calcular el determinante de C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Compare con el valor que se podría obtener al multiplicar los determinantes de las matrices originales. Los números son los mismos. El teorema anterior es verdadero.
Clasificación del producto
El rango de una matriz es una característica que refleja el número máximo de filas o columnas linealmente independientes. Para calcular el rango se realizan transformaciones elementales de la matriz:
- reordenamiento de dos filas paralelas;
- multiplicar todos los elementos de una determinada fila de la tabla por un número distinto de cero;
- sumar a los elementos de una fila los elementos de otra fila, multiplicados por un número específico.
Después de las transformaciones elementales, observe el número de cadenas distintas de cero. Su número es el rango de la matriz. Considere el ejemplo anterior. Presentó 2 matrices: A con elementos a11=2, a12=3, a21=1 y a22 =1 y B con elementos b11=4, b12=5, b21=1 y b22=2. También utilizaremos la matriz C obtenida como resultado de la multiplicación. Si realizamos transformaciones elementales, entonces no habrá filas cero en las matrices simplificadas. Esto significa que tanto el rango de la tabla A como el rango de la tabla B y el rangola tabla C es 2.
Ahora prestemos especial atención al rango del producto de matrices. Hay un teorema que dice que el rango de un producto de tablas que contienen elementos numéricos no excede el rango de ninguno de los factores. Esto se puede probar. Sean A una matriz k × s y B una matriz s × m. El producto de A y B es igual a C.
Estudiemos la imagen de arriba. Muestra la primera columna de la matriz C y su notación simplificada. Esta columna es una combinación lineal de las columnas incluidas en la matriz A. De manera similar, se puede decir de cualquier otra columna del arreglo rectangular C. Así, el subespacio formado por los vectores columna de la tabla C está en el subespacio formado por el vectores columna de la tabla A. Por lo tanto, la dimensión del subespacio No. 1 no excede la dimensión del subespacio No. 2. Esto implica que el rango en columnas de la tabla C no excede el rango en columnas de la tabla A, es decir, r(C) ≦ r(A). Si argumentamos de manera similar, podemos asegurarnos de que las filas de la matriz C son combinaciones lineales de las filas de la matriz B. Esto implica la desigualdad r(C) ≦ r(B).
Cómo encontrar el producto de matrices es un tema bastante complicado. Se puede dominar fácilmente, pero para lograr ese resultado, tendrá que pasar mucho tiempo memorizando todas las reglas y teoremas existentes.
