El tema "progresión aritmética" se estudia en el curso general de álgebra en las escuelas en el noveno grado. Este tema es importante para un estudio más profundo de las matemáticas de las series numéricas. En este artículo, nos familiarizaremos con la progresión aritmética, su diferencia, así como con las tareas típicas que pueden enfrentar los escolares.
El concepto de progresión algebraica
La progresión numérica es una secuencia de números en la que cada elemento posterior puede obtenerse del anterior, si se aplica alguna ley matemática. Hay dos tipos simples de progresión: geométrica y aritmética, que también se llama algebraica. Detengámonos en ello con más detalle.
Imaginemos un número racional, denotémoslo con el símbolo a1, donde el índice indica su número ordinal en la serie considerada. Agreguemos algún otro número a a1 , lo denotaremos d. Entonces el segundoun elemento de una serie se puede reflejar de la siguiente manera: a2=a1+d. Ahora agregue d nuevamente, obtenemos: a3=a2+d. Continuando con esta operación matemática, puede obtener toda una serie de números, que se denominarán progresión aritmética.
Como se puede entender de lo anterior, para encontrar el n-ésimo elemento de esta secuencia, debe usar la fórmula: a =a1+ (n -1)d. De hecho, sustituyendo n=1 en la expresión, obtenemos a1=a1, si n=2, entonces la fórmula implica: a2=a1 + 1d, y así sucesivamente.
Por ejemplo, si la diferencia de una progresión aritmética es 5 y a1=1, entonces esto significa que la serie numérica del tipo en cuestión se parece a: 1, 6, 11, 16, 21, … Como puedes ver, cada uno de sus términos es mayor que el anterior en 5.
Fórmulas para la diferencia de progresión aritmética
De la definición anterior de la serie de números considerada, se deduce que para determinarla se necesitan dos números: a1 y d. Este último se llama la diferencia de esta progresión. Determina de forma única el comportamiento de toda la serie. De hecho, si d es positivo, entonces la serie numérica aumentará constantemente, por el contrario, en el caso de d negativo, los números de la serie aumentarán solo módulo, mientras que su valor absoluto disminuirá al aumentar el número n.
¿Cuál es la diferencia de la progresión aritmética? Considere las dos fórmulas principales que se utilizan para calcular este valor:
- d=an+1-a , esta fórmula se deriva directamente de la definición de la serie numérica en cuestión.
- d=(-a1+a)/(n-1), esta expresión se obtiene expresando d a partir de la fórmula dada en el párrafo anterior del artículo. Tenga en cuenta que esta expresión se vuelve indeterminada (0/0) si n=1. Esto se debe a que es necesario conocer al menos 2 elementos de la serie para poder determinar su diferencia.
Estas dos fórmulas básicas se utilizan para resolver cualquier problema de encontrar la diferencia de progresión. Sin embargo, hay otra fórmula que también debe conocer.
Suma de los primeros elementos
La fórmula que se puede utilizar para determinar la suma de cualquier número de miembros de una progresión algebraica, según la evidencia histórica, fue obtenida por primera vez por el "príncipe" de las matemáticas del siglo XVIII, Carl Gauss. Un científico alemán, cuando aún era un niño en los grados primarios de una escuela de pueblo, notó que para sumar números naturales en la serie del 1 al 100, primero debe sumar el primer elemento y el último (el valor resultante será igual a la suma del penúltimo y segundo, penúltimo y tercer elemento, y así sucesivamente), y luego se debe multiplicar este número por el número de estas cantidades, es decir, por 50.
La fórmula que refleja el resultado indicado en un ejemplo particular se puede generalizar a un caso arbitrario. Se verá así: S =n/2(a +a1). Tenga en cuenta que para encontrar el valor especificado, no se requiere el conocimiento de la diferencia d,si se conocen dos términos de la progresión (a y a1).
Ejemplo 1. Determina la diferencia conociendo los dos términos de la serie a1 y an
Veamos cómo aplicar las fórmulas mencionadas anteriormente en el artículo. Pongamos un ejemplo sencillo: se desconoce la diferencia de la progresión aritmética, es necesario determinar a qué será igual si a13=-5, 6 y a1 =-12, 1.
Como conocemos los valores de dos elementos de la secuencia numérica, y uno de ellos es el primer número, podemos usar la fórmula No. 2 para determinar la diferencia d. Tenemos: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. En la expresión, usamos el valor n=13, ya que el miembro con este número de serie es conocido.
La diferencia resultante indica que la progresión es creciente, a pesar de que los elementos dados en la condición del problema tienen un valor negativo. Se puede ver que a13>a1, aunque |a13|<|a 1 |.
Ejemplo 2. Miembros positivos de la progresión en el ejemplo 1
Utilicemos el resultado obtenido en el ejemplo anterior para resolver un nuevo problema. Se formula de la siguiente manera: ¿a partir de qué número de secuencia los elementos de la progresión del ejemplo 1 comienzan a tomar valores positivos?
Como se muestra, la progresión en la que a1=-12, 1 y d=0. 54167 es creciente, por lo que a partir de algún número los números comenzarán a adoptar solo valores positivos valores. Para determinar este número n, hay que resolver una desigualdad simple, que esescrita matemáticamente de la siguiente manera: a >0 o, usando la fórmula apropiada, reescribimos la desigualdad: a1 + (n-1)d>0. Hay que encontrar la incógnita n, expresémosla: n>-1a1/d+1. Ahora resta sustituir los valores conocidos de la diferencia y el primer miembro de la secuencia Obtenemos: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 o n>23, 338. Dado que n solo puede tomar valores enteros, de la desigualdad resultante se deduce que cualquier miembro de la serie que tener un número mayor que 23 será positivo.
Comprueba tu respuesta utilizando la fórmula anterior para calcular los elementos 23 y 24 de esta progresión aritmética. Tenemos: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (número negativo); a24=-12, 1 + 230.54167=0.3584 (valor positivo). Por tanto, el resultado obtenido es correcto: a partir de n=24, todos los miembros de la serie numérica serán mayores que cero.
Ejemplo 3. ¿Cuántos troncos caben?
Démosle un problema curioso: durante la tala, se decidió apilar los troncos aserrados uno encima del otro como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuántos troncos se pueden apilar de esta manera sabiendo que caben 10 filas en total?
En esta forma de apilar registros, puedes notar una cosa interesante: cada fila subsiguiente contendrá un registro menos que el anterior, es decir, hay una progresión algebraica, cuya diferencia es d=1. Suponiendo que el número de registros en cada fila es un miembro de esta progresión,y también dado que a1=1 (solo cabe un registro en la parte superior), encontramos el número a10. Tenemos: a10=1 + 1(10-1)=10. Es decir, en la fila 10, que está en el suelo, habrá 10 troncos.
La cantidad total de esta construcción "piramidal" se puede obtener usando la fórmula de Gauss. Obtenemos: S10=10/2(10+1)=55 logs.
