¿Qué es la aritmética? ¿Cuándo comenzó la humanidad a usar números y trabajar con ellos? ¿A dónde van las raíces de conceptos cotidianos como números, fracciones, restas, sumas y multiplicaciones, que una persona ha hecho una parte inseparable de su vida y cosmovisión? Las mentes de los antiguos griegos admiraban ciencias como las matemáticas, la aritmética y la geometría como las sinfonías más bellas de la lógica humana.
Tal vez la aritmética no sea tan profunda como otras ciencias, pero ¿qué pasaría con ellas si una persona olvida la tabla de multiplicar elemental? El pensamiento lógico que nos es habitual, utilizando números, fracciones y otras herramientas, no era fácil para las personas y durante mucho tiempo fue inaccesible para nuestros antepasados. De hecho, antes del desarrollo de la aritmética, ninguna área del conocimiento humano era verdaderamente científica.
La aritmética es el ABC de las matemáticas
La aritmética es la ciencia de los números, con la que cualquier persona comienza a familiarizarse con el fascinante mundo de las matemáticas. Como dijo M. V. Lomonosov, la aritmética es la puerta del aprendizaje, que nos abre el camino al conocimiento del mundo. pero tiene razón¿Se puede separar el conocimiento del mundo del conocimiento de los números y las letras, de las matemáticas y del habla? Tal vez en los viejos tiempos, pero no en el mundo moderno, donde el rápido desarrollo de la ciencia y la tecnología dicta sus propias leyes.
La palabra "aritmética" (griego "arithmos") de origen griego, significa "número". Ella estudia los números y todo lo que se puede conectar con ellos. Este es el mundo de los números: diversas operaciones con números, reglas numéricas, resolución de problemas relacionados con la multiplicación, la resta, etc.
En general, se acepta que la aritmética es el paso inicial de las matemáticas y una base sólida para sus secciones más complejas, como el álgebra, el análisis matemático, las matemáticas superiores, etc.
Objeto principal de la aritmética
La base de la aritmética es un número entero, cuyas propiedades y patrones se consideran en aritmética superior o teoría de números. De hecho, la fuerza de todo el edificio, las matemáticas, depende de qué tan correcto sea el enfoque al considerar un bloque tan pequeño como un número natural.
Por lo tanto, la pregunta de qué es la aritmética puede responderse de forma sencilla: es la ciencia de los números. Sí, sobre los habituales siete, nueve y toda esta comunidad diversa. Y así como no se puede escribir poesía buena o incluso la más mediocre sin un alfabeto elemental, no se puede resolver ni siquiera un problema elemental sin la aritmética. Es por eso que todas las ciencias avanzaron solo después del desarrollo de la aritmética y las matemáticas, siendo antes solo un conjunto de suposiciones.
La aritmética es una ciencia fantasma
¿Qué es la aritmética: ciencia natural o fantasma? De hecho, como argumentaron los antiguos filósofos griegos, ni los números ni las figuras existen en la realidad. Esto es solo un fantasma que se crea en el pensamiento humano al considerar el medio ambiente con sus procesos. De hecho, ¿qué es un número? En ninguna parte vemos algo así que pueda llamarse un número, más bien, un número es una forma en que la mente humana estudia el mundo. ¿O tal vez es el estudio de nosotros mismos desde el interior? Los filósofos han estado discutiendo sobre esto durante muchos siglos seguidos, por lo que no nos comprometemos a dar una respuesta exhaustiva. De una forma u otra, la aritmética ha logrado tomar su lugar con tanta firmeza que en el mundo moderno nadie puede considerarse adaptado socialmente sin conocer sus fundamentos.
¿Cómo apareció el número natural?
Por supuesto, el objeto principal sobre el que opera la aritmética es un número natural, como 1, 2, 3, 4, …, 152… etc. La aritmética de los números naturales es el resultado de contar objetos ordinarios, como vacas en un prado. Aún así, la definición de "mucho" o "poco" una vez dejó de adaptarse a las personas y tuvieron que inventar técnicas de conteo más avanzadas.
Pero el verdadero avance ocurrió cuando el pensamiento humano llegó al punto en que es posible designar 2 kilogramos, 2 ladrillos y 2 partes con el mismo número "dos". El hecho es que necesita abstraerse de las formas, propiedades y significado de los objetos, luego puede realizar algunas acciones con estos objetos en forma de números naturales. Así nació la aritmética de los números, quemás desarrollado y expandido, ocupando posiciones cada vez más importantes en la vida de la sociedad.
Los conceptos profundos de números como el cero y el número negativo, las fracciones, las designaciones de números por números y de otras formas, tienen una rica e interesante historia de desarrollo.
Egipcios aritméticos y prácticos
Los dos compañeros humanos más antiguos para explorar el mundo que nos rodea y resolver problemas cotidianos son la aritmética y la geometría.
Se cree que la historia de la aritmética se origina en el Antiguo Oriente: en la India, Egipto, Babilonia y China. Así, el papiro Rinda de origen egipcio (llamado así porque perteneció al propietario del mismo nombre), data del siglo XX. BC, además de otros datos valiosos, contiene la expansión de una fracción en la suma de fracciones con diferentes denominadores y un numerador igual a uno.
Por ejemplo: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
¿Pero cuál es el sentido de una descomposición tan compleja? El hecho es que el enfoque egipcio no toleraba pensamientos abstractos sobre los números, por el contrario, los cálculos se hacían solo con fines prácticos. Es decir, el egipcio se involucrará en cálculos, únicamente para construir una tumba, por ejemplo. Era necesario calcular la longitud del borde de la estructura, y esto obligó a una persona a sentarse detrás del papiro. Como puede ver, el progreso egipcio en los cálculos se debió más a la construcción en masa que al amor por la ciencia.
Por esta razón, los cálculos que se encuentran en los papiros no pueden llamarse reflexiones sobre el tema de las fracciones. Lo más probable es que esta sea una preparación práctica que ayudó en el futuro.resolver problemas con fracciones. Los antiguos egipcios, que no conocían las tablas de multiplicar, hacían cálculos bastante largos, descompuestos en muchas subtareas. Quizás esta sea una de esas subtareas. Es fácil ver que los cálculos con tales piezas de trabajo son muy laboriosos y poco prometedores. Quizá por eso no vemos la gran contribución del Antiguo Egipto al desarrollo de las matemáticas.
La antigua Grecia y la aritmética filosófica
Muchos conocimientos del Antiguo Oriente fueron dominados con éxito por los antiguos griegos, famosos amantes de las reflexiones abstractas, abstractas y filosóficas. No estaban menos interesados en la práctica, pero es difícil encontrar a los mejores teóricos y pensadores. Esto ha beneficiado a la ciencia, ya que es imposible adentrarse en la aritmética sin desgajarla de la realidad. Claro, puedes multiplicar 10 vacas y 100 litros de leche, pero no llegarás muy lejos.
Los pensadores griegos dejaron una huella significativa en la historia, y sus escritos han llegado hasta nosotros:
- Euclides y los elementos.
- Pitágoras.
- Arquímedes.
- Eratóstenes.
- Zeno.
- Anaxágoras.
Y, por supuesto, los griegos, que convirtieron todo en filosofía, y especialmente los sucesores de la obra de Pitágoras, estaban tan fascinados por los números que los consideraban el misterio de la armonía del mundo. Los números han sido estudiados e investigados hasta tal punto que a algunos de ellos y sus pares se les han asignado propiedades especiales. Por ejemplo:
- Los números perfectos son aquellos que son iguales a la suma de todos sus divisores, excepto el propio número (6=1+2+3).
- Los números amistosos son aquellos números, uno de los cualeses igual a la suma de todos los divisores del segundo, y viceversa (los pitagóricos sólo conocían uno de estos pares: 220 y 284).
Los griegos, que creían que la ciencia debía ser amada, y no estar con ella en aras del beneficio, lograron un gran éxito explorando, jugando y sumando números. Cabe señalar que no todas sus investigaciones fueron ampliamente utilizadas, algunas de ellas permanecieron solo "por belleza".
Pensadores orientales de la Edad Media
Del mismo modo, en la Edad Media, la aritmética debe su desarrollo a los contemporáneos orientales. Los indios nos dieron los números que usamos activamente, un concepto como "cero" y la versión posicional del cálculo, familiar para la percepción moderna. De Al-Kashi, que trabajó en Samarcanda en el siglo XV, heredamos las fracciones decimales, sin las cuales es difícil imaginar la aritmética moderna.
En muchos sentidos, el conocimiento de Europa de los logros de Oriente se hizo posible gracias al trabajo del científico italiano Leonardo Fibonacci, quien escribió la obra "El libro del ábaco", presentando las innovaciones orientales. Se convirtió en la piedra angular del desarrollo del álgebra y la aritmética, la investigación y las actividades científicas en Europa.
aritmética rusa
Y, finalmente, la aritmética, que encontró su lugar y echó raíces en Europa, comenzó a extenderse por tierras rusas. La primera aritmética rusa se publicó en 1703: era un libro sobre aritmética de Leonty Magnitsky. Durante mucho tiempo siguió siendo el único libro de texto de matemáticas. Contiene los momentos iniciales de álgebra y geometría. Los números utilizados en los ejemplos del primer libro de texto de aritmética en Rusia son árabes. Aunque los números arábigos se han visto antes, en grabados que datan del siglo XVII.
El libro en sí está decorado con imágenes de Arquímedes y Pitágoras, y en la primera hoja, la imagen de la aritmética en forma de mujer. Ella se sienta en un trono, debajo de ella está escrita en hebreo una palabra que denota el nombre de Dios, y en los escalones que conducen al trono, están inscritas las palabras "división", "multiplicación", "adición", etc. que ahora se consideran lugares comunes.
Un libro de texto de 600 páginas cubre conceptos básicos como las tablas de suma y multiplicación y aplicaciones a las ciencias de la navegación.
No es de extrañar que el autor eligiera imágenes de pensadores griegos para su libro, porque él mismo quedó cautivado por la belleza de la aritmética, diciendo: "La aritmética es el numerador, existe el arte honesto, poco envidiable…". Este enfoque de la aritmética está bastante justificado, porque su introducción generalizada puede considerarse el comienzo del rápido desarrollo del pensamiento científico en Rusia y la educación general.
Primos sin primos
Un número primo es un número natural que tiene solo 2 divisores positivos: 1 y él mismo. Todos los demás números, excepto el 1, se llaman compuestos. Ejemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11 y todos los demás que no tienen más divisores que el 1 y él mismo.
En cuanto al número 1, está en una cuenta especial: existe un acuerdo de que no debe considerarse ni simple ni compuesto. Simple a primera vista, un simple número esconde muchos misterios sin resolver dentro de sí mismo.
El teorema de Euclides dice que hay un número infinito de números primos, y Eratóstenes inventó una "tamiz" aritmética especial que elimina los números no primos, dejando solo los simples.
Su esencia es subrayar el primer número no tachado, y posteriormente tachar los que son múltiplos de él. Repetimos este procedimiento muchas veces y obtenemos una tabla de números primos.
El teorema fundamental de la aritmética
Entre las observaciones sobre los números primos, debe mencionarse de manera especial el teorema fundamental de la aritmética.
El teorema fundamental de la aritmética dice que todo número entero mayor que 1 es primo o se puede descomponer en un producto de números primos hasta el orden de los factores y de forma única.
El principal teorema de la aritmética ha demostrado ser bastante engorroso, y entenderlo ya no parece ser lo más básico.
A primera vista, los números primos son un concepto elemental, pero no lo son. La física también consideraba elemental al átomo, hasta encontrar en él todo el universo. Una maravillosa historia del matemático Don Tzagir "Los primeros cincuenta millones de números primos" está dedicada a los números primos.
De las "tres manzanas" a las leyes deductivas
Lo que realmente puede llamarse la base reforzada de toda ciencia son las leyes de la aritmética. Incluso en la infancia, todos se enfrentan a la aritmética, estudiando el número de piernas y brazos de las muñecas,el número de cubos, manzanas, etc. Así es como estudiamos aritmética, que luego entra en reglas más complejas.
Toda nuestra vida nos familiariza con las reglas de la aritmética, que se han convertido para el hombre común en las más útiles de todo lo que da la ciencia. El estudio de los números es "aritmética-bebé", que introduce a una persona en el mundo de los números en forma de números en la primera infancia.
La aritmética superior es una ciencia deductiva que estudia las leyes de la aritmética. Conocemos la mayoría de ellos, aunque es posible que no sepamos su redacción exacta.
La ley de la suma y la multiplicación
Dos números naturales cualesquiera a y b se pueden expresar como una suma a+b, que también será un número natural. Las siguientes leyes se aplican a la suma:
- Conmutativa, que dice que la suma no cambia por el reordenamiento de los términos, o a+b=b+a.
- Asociativo, que dice que la suma no depende de la forma en que los términos se agrupan en lugares, o a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Las reglas de la aritmética, como la suma, se encuentran entre las más elementales, pero son utilizadas por todas las ciencias, sin mencionar la vida cotidiana.
Dos números naturales cualesquiera a y b se pueden expresar como un producto ab o ab, que también es un número natural. Se aplican las mismas leyes conmutativas y asociativas al producto que a la suma:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Me preguntoque existe una ley que une la suma y la multiplicación, también llamada ley distributiva o distributiva:
a(b+c)=ab+ac
Esta ley en realidad nos enseña a trabajar con corchetes expandiéndolos, así podemos trabajar con fórmulas más complejas. Estas son las leyes que nos guiarán a través del extraño y complejo mundo del álgebra.
La ley del orden aritmético
La lógica humana utiliza la ley del orden todos los días, comparando relojes y contando billetes. Y, sin embargo, necesita formalizarse en forma de formulaciones específicas.
Si tenemos dos números naturales a y b, entonces las siguientes opciones son posibles:
- a es igual a b, o a=b;
- a es menor que b, o a < b;
- a es mayor que b, o a > b.
De tres opciones, solo una puede ser justa. La ley básica que rige el orden dice: si a < b y b < c, entonces a< c.
También hay leyes que relacionan el orden con la multiplicación y la suma: si a< es b, entonces a + c < b+c y ac< bc.
Las leyes de la aritmética nos enseñan a trabajar con números, signos y corchetes, convirtiendo todo en una armoniosa sinfonía de números.
Cálculo posicional y no posicional
Se puede decir que los números son un lenguaje matemático, de cuya conveniencia depende mucho. Hay muchos sistemas numéricos que, al igual que los alfabetos de diferentes idiomas, difieren entre sí.
Consideremos los sistemas numéricos desde el punto de vista de la influencia de la posición sobre el valor cuantitativonúmeros en esta posición. Así, por ejemplo, el sistema romano no es posicional, donde cada número está codificado por un determinado conjunto de caracteres especiales: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Son iguales, respectivamente, a los números 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. En tal sistema, el número no cambia su definición cuantitativa según la posición en la que se encuentre: primero, segundo, etc. Para obtener otros números, debe agregar los básicos. Por ejemplo:
- DCC=700.
- CCM=800.
El sistema numérico más familiar para nosotros usando números arábigos es posicional. En tal sistema, el dígito de un número determina el número de dígitos, por ejemplo, números de tres dígitos: 333, 567, etc. El peso de cualquier dígito depende de la posición en la que se encuentre este o aquel dígito, por ejemplo, el número 8 en la segunda posición tiene un valor de 80. Esto es típico del sistema decimal, existen otros sistemas posicionales, por ejemplo, binario.
Aritmética binaria
Estamos familiarizados con el sistema decimal, que consta de números de un solo dígito y de varios dígitos. El número a la izquierda de un número de varios dígitos es diez veces más significativo que el de la derecha. Entonces, estamos acostumbrados a leer 2, 17, 467, etc. La sección llamada "aritmética binaria" tiene una lógica y un enfoque completamente diferentes. Esto no es sorprendente, porque la aritmética binaria no se creó para la lógica humana, sino para la lógica informática. Si la aritmética de los números se originó a partir del conteo de objetos, que se abstrajo aún más de las propiedades del objeto a la aritmética "básica", entonces esto no funcionará con una computadora. Para poder compartircon su conocimiento de una computadora, una persona tuvo que inventar tal modelo de cálculo.
La aritmética binaria funciona con el alfabeto binario, que consta de solo 0 y 1. Y el uso de este alfabeto se denomina sistema binario.
La diferencia entre la aritmética binaria y la aritmética decimal es que el significado de la posición de la izquierda ya no es 10, sino 2 veces. Los números binarios son de la forma 111, 1001, etc. ¿Cómo entender esos números? Entonces, considere el número 1100:
- El primer dígito de la izquierda es 18=8, recordando que el cuarto dígito, lo que significa que debe multiplicarse por 2, obtenemos la posición 8.
- Segundo dígito 14=4 (posición 4).
- Tercer dígito 02=0 (posición 2).
- Cuarto dígito 01=0 (posición 1).
- Así que nuestro número es 1100=8+4+0+0=12.
Es decir, cuando se mueve a un nuevo dígito a la izquierda, su significado en el sistema binario se multiplica por 2, y en decimal, por 10. Tal sistema tiene una desventaja: es un aumento demasiado grande en dígitos que se necesitan para escribir números. En la siguiente tabla se pueden encontrar ejemplos de representación de números decimales como números binarios.
Los números decimales en forma binaria se muestran a continuación.
También se utilizan los sistemas octal y hexadecimal.
Esta misteriosa aritmética
¿Qué es la aritmética, "dos veces dos" o misterios inexplorados de los números? Como puede ver, la aritmética puede parecer simple a primera vista, pero su facilidad no obvia es engañosa. También puede ser estudiado por niños junto con la tía Búho dedibujos animados "Aritmética-bebé", y puedes sumergirte en una investigación científica profunda de un orden casi filosófico. En la historia, ha pasado de contar objetos a adorar la belleza de los números. Solo una cosa se sabe con certeza: con el establecimiento de los postulados básicos de la aritmética, toda ciencia puede apoyarse en su hombro fuerte.
